Điểm cực trị là gì? Cách tìm cực trị của hàm số

Mời bạn đọc cùng tìm hiểu Điểm cực trị là gì? trong bài viết dưới đây để có câu trả lời nhé.

Điểm cực trị là gì?

Khái niệm cực trị được hiểu đơn giản như sau: Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Trong toán học ta cần định nghĩa rõ ràng hơn về lý thuyết cực trị của một hàm số bất kỳ.

Giả sử hàm số f xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x₀ ∈ K

Bạn đang xem: Điểm cực trị là gì? Cách tìm cực trị của hàm số

a) x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x₀ sao cho f(x) < f(x₀), ∀ x ∈ (a;b) \{x₀}

→ Khi đó f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

b) x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x₀ sao cho f(x) > f(x₀), ∀ x ∈ (a;b) \{x₀}

→ Khi đó f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Chú ý:

1) Điểm cực đại (cực tiểu) x₀ được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

2) Nói chung, giá trị cực đại (cực tiểu) f(x₀) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f(x₀) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x₀.

3) Nếu x₀ là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Cách tìm cực trị của hàm số

Phương pháp giải

1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm x₀∈(a;b).

Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x)< f(x₀ ) với mọi x ∈ (x₀ – h;x₀ + h) và x≠x_0 thì ta nói hàm số f_(x) đạt cực đại tại x₀.

2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x₀ – h;x₀ + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x₀}, với h >0.

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x₀ – h;x₀) và f'(x) <0 trên (x₀;x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x₀ – h;x₀) và f'(x) >0 trên (x₀;x₀+ h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_CÑ (f_CT), còn điểm M(x₀;f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3.Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệux_i (i=1,2,3,…)là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f”(x) và f”(x_i ) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f”(x_i )suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x³ – 6x + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y’ = 6x² – 6. Cho y’= 0 ⇔ 6x² – 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y = 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,y = -2.

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y = x⁴ – 2x² + 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y’ = 4x³ – 4x. Cho y’= 0 ⇔ 4x³ – 4x = 0 ⇔.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 1 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số y = 

Hướng dẫn

Tập xác định D = R\{2}. Tính 

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm

Phương pháp giải

Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x₀.

Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x³ – 3mx² +(m² – 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y’=3x² – 6mx + m² – 1; y” = 6x – 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 ⇒ 

⇔ m = 1.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số y = -x³ + (m+3)x² – (m² + 2m)x – 2 đạt cực đại tại x = 2.

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

y’ = -3x² + 2(m + 3)x – (m² + 2m) ; y” = -6x + 2(m + 3).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 

Kết luận : Giá trị m cần tìm là m = 0 ,m = 2.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = x⁴ – 2(m + 1)x² – 2m – 1 đạt cực đại tại x = 1 .

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Ta có y’ = 4x³ -4(m + 1)x.

+ Để hàm số đạt cực đại tại x = 1 cần y'(1) = 0 ⇔ 4 – 4(m + 1) = 0 ⇔ m = 0

+ Với m = 0 ⇒ y’ = 4x³ – 4x ⇒ y'(1) = 0.

+ Lại có y” = 12x² – 4 ⇒ y”(1) = 8 > 0.

⇒Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ m = 0 không thỏa mãn.

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Biện luận theo m số cực trị của hàm số

Phương pháp giải

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’_y’ = b² – 3ac

 Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

 Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b² – 3ac ≤ 0

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

 Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b² – 3ac > 0

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y’ = 4ax³ + 2bx; y’ = 0 ⇔ 

 (C)có một điểm cực trị y’ = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

 (C)có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn

y’ = 3x² + m.

Hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’= 0 có hai nghiệm phân biệt.

Vậy m < 0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m – 2)x³ – mx – 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y’ = 3(m – 2)x² – m.

Cho y’ = 0 ⇔ 3(m – 2)x² – m = 0   (1).

+ TH1: Xét m = 2 ⇒ y’ = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho không có cực trị.

+ TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi Δ’> 0 ⇔ m(m – 2) > 0 ⇔

Vậy m > 2 ∨ m < 0.

Ví dụ 3: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx⁴ – m² x² + 2016 có 3 điểm cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y’ = 4mx³ – 2xm².

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi 

Biện luận theo m số cực trị của hàm số cực hay

Phương pháp giải

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’_y’ = b² – 3ac

 Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

 Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b² – 3ac ≤ 0

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

 Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b² – 3ac > 0

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y’ = 4ax³ + 2bx; y’ = 0 ⇔ 

 (C)có một điểm cực trị y’ = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

 (C)có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu.

Hướng dẫn

y’ = 3x² + m.

Hàm số y = x³ + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’= 0 có hai nghiệm phân biệt.

Vậy m < 0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m – 2)x³ – mx – 2. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y’ = 3(m – 2)x² – m.

Cho y’ = 0 ⇔ 3(m – 2)x² – m = 0   (1).

+ TH1: Xét m = 2 ⇒ y’ = -2 < 0 ∀ x nên hàm số đã cho không có cực trị.

+ TH2: Xét m ≠ 2

Hàm số có cực trị khi Δ’> 0 ⇔ m(m – 2) > 0 ⇔

Vậy m > 2 ∨ m < 0.

Ví dụ 3: Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = mx⁴ – m² x² + 2016 có 3 điểm cực trị?

Hướng dẫn

Tập xác định D = R.

Tính y’ = 4mx³ – 2xm².

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi 

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx³ + 3mx² – (m – 1)x – 1 có cực trị.

Lời giải:

TXĐ: D = R

Ta có: y’ = 3mx² + 6mx – m + 1. Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm nên x₀ là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0.

Vậy hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 phải có nghiệm và y’ đổi dấu qua nghiệm đó.

* Nếu m = 0 ⇒ y’ = 1 > 0 ∀ x ∈ R ⇒ hàm số không có cự trị

* Nếu m ≠ 0. Khi đó y’ là một tam thức bậc hai nên y’ = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay Δ’ = 12m² – 3m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 1/4.

Vậy, với m < 0 hoặc m > 1/4 là những giá trị cần tìm.

Lời giải:

Ta có: y’ = 3[x² – 2(m – 1)x + 2m – 4]

Hàm số có cực trị  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  Δ’ = m² – 4m + 5 > 0 đúng với mọi m. Vậy hàm số luôn có cực trị với mọi m.

Bài 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = x³ + mx² +(4m + 3)x + 2m – 1 có hai điểm cực trị.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y’ = 3x² + 2mx + 4m + 3; Hàm số có hai cực trị  y’ = 0 có hai nghiệm thực phân biệt và đổi dấu  Δ’ > 0 ⇔ m² – 12m – 9 > 0 (khi đó y’ đổi dấu qua nghiệm) ⇔ m ∈(-∞;6-3√5)∪(6+3√5;+∞).

Bài 4: Tìm các giá trị của m để hàm số y = x³ – 2mx + 4 không có điểm cực trị.

Lời giải:

* Tập xác định D = R.

* Tính y’ = 3x² – 2m.

* Hàm số không có điểm cực trị khi phương trình y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép  x² = 2m/3 ≤ 0 ⇔ m ≤ 0.

Bài 5: Tìm m để hàm số có cực trị.

Lời giải:

• Với m = 0 ta có y = -x² + x – 1, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1/2. Suy ra m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.

• m ≠ 0, ta có: 

Suy ra y’ = 0 ⇔ mx² – 2x + 1 – 2m = 0 (*)

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1/m ⇔ ⇔2m² – m + 1 > 0 đúng với mọi m.

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi m.

Bài 6:Tìm m để hàm số  có cực trị.

Lời giải:

Ta có: 

Hàm số có cực đại, cực tiểu  phương trình x² + 2mx + m² – 2m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -m ⇔ ⇔ m > 3/2.

Bài 7:Tìm m để hàm số y = x⁴ + 4mx³ + 3(m + 1)x² + 1 có ba cực trị

Lời giải:

Ta có y’ = 4x³ + 12mx² + 6(m + 1)x = 2x(2x² + 6mx + 3(m + 1))

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Bài 8:Tìm m để hàm số y = x⁴ + 4mx³ + 3(m + 1)x² + 1 có cực tiểu mà không có cực đại.

Lời giải:

Ta có y’ = 4x³ + 12mx² + 6(m + 1)x = 2x(2x² + 6mx + 3(m + 1))

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Hàm chỉ có cực tiểu mà không có cực đại  hàm số có 1 cực trị và a > 0 

Cách giải các dạng bài về cực trị của hàm số

Phương pháp giải

1. Cực trị của hàm số bậc ba

Hàm số có cực trị y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt .

Nếu hàm số y = ax³ + bx² + cx + d(a ≠ 0) có hai điểm cực trị x₁,x₂ và

y = g(x).y^’ + a.x + b thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình y = ax + b và giá trị cực trị là của hàm số là y₁ = a.x₁+b; y₂ = a.x₂ + b

Tìm điều kiện cuả tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn hệ thức cho trước

– Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

– Phân tích hệ thức để áp dụng vi-et cho phương trình bậc hai.

2. Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương

Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

(C)có ba điểm cực trị y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Khi đó hàm số có 3 điểm cực trị thì 3 điểm cực trị là 0;

Tọa độ 3 điểm cực trị tương ứng của đồ thị hàm số là: 

Nhận xét: tam giác ABC cân tại A, có A ∈Oy ;

Tam giác ABC vuông tại 

hoặc ΔABC vuông cân tại A ⇔ BC² = AB² + AC²

Tam giác ABC đều 

hoặc ΔABC đều ⇔ BC² = AB²

Đặc biệt: Tam giác ABC có một góc bằng 120° 

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x³ – 3(m + 1)x² + 9x – 2m² + 1 (C). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x₁, x₂ sao cho |x₁ – xc | = 2

Hướng dẫn

Ta có y’ = 0 ⇔ x² – 2(m + 1)x + 3 = 0. ĐK có 2 điểm cực trị Δ’ = (m + 1)² – 3 > 0

Khi đó

Ví dụ 2. Cho hàm số  (C). Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có cực đại, cực tiểu tại x₁,x₂ sao cho x₁² + x₂² = 6

Hướng dẫn

Ta có y’ = x² – mx + m² – 3. ĐK có 2 cực trị Δ = m² – 4(m² – 3) = 12 – 3m² > 0

Khi đó 

Hướng dẫn

Ta có y’ = 4x³ – 4mx = 4x[x² – m].

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi:

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A(0; 2m⁴ – m), B(-√m; 2m⁴ – m² – m), C(√m; 2m⁴ – m² – m)

Có A Oy.Khi đó ba điểm cực trị đều thuộc các trục tọa độ

⇔ y_B = 0 = y_C ⇔ 2m⁴ – m² – m = 0 ⇔ m = 1

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho hàm số y = 4x³ + mx² – 3x + 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x₁,x₂ thỏa x₁ = -2x₂

Lời giải:

Ta có y’ = 12x² + 2mx – 3. ĐK có 2 cực trị là: Δ’ = m² + 36 > 0

Câu 2:Cho hàm số y = (m + 2)x³ + 3x² + mx – 5, m là tham số. Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương.

Lời giải:

Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

⇔ PT y’ = 3(m + 2)x² + 6x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Câu 3:Cho hàm số y = x³ + (1 – 2m)x² + (2 – m)x + m + 2 (1). Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu , đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

Lời giải:

y’ = 3x² + 2(1 – 2m)x + 2 – m = g(x)

YCBT ⇔ Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂thỏa mãn x₁ < x₂ < 1.

Câu 4:Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + m – 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.

Lời giải:

f'(x) = 3x² + 6x + m

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi:f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ Δ = 9 – 3m > 0 ⇔ m < 3

Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình f'(x) = 0 ta có

g(x₁) = 2/3 (m – 3)(x₁ + 1); g(x²) = 2/3 (m – 3)(x₂ + 1)

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía của

(g(x₁). g(x₂) < 0 ⇔ (m – 3)² (x₁ + 1)(x₂ + 1) < 0⇔(m – 3)² (x₁ x₂ + x₁ + x₂ + 1) < 0 ⇔(x₁ x₂ + x₁ + x₂ + 1) < 0 (m < 3) )

Vậy:(x₁ x₂ + x₁ + x₂ + 1) < 0 ⇔ m/3 – 1 < 0 ⇔ m < 3

Câu 5:Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m – 3)x² + 11 – 3m có hai điểm cực trị. Đồng thời hai điểm cực trị đó và điểmC(0; -1) thẳng hàng .

Lời giải:

y’ = 6x² + 6(m – 3)x

Hàm số có 2 cực trị  m ≠ 3

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A(0; 11 – 3m)

Phương trình đt AB : (3 – m)² x + y – 11 + 3m = 0

A,B,C thẳng hàng 

Hay : -1 – 11 + 3m = 0 ⇔ m = 4.

Câu 6:Tìm m để hàm số y = x⁴ – 2m² x² + 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Lời giải:

Hàm số có 3 cực trị  y’ = 4x(x² – m² ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt  m ≠ 0, khi đó đồ thị có 3 điểm cực trị là A(0, 1);B(-m, 1 – m⁴ ), C(m, 1 – m⁴ ). Do y là hàm chẵn nên YCBT  ⇔ m = ±1

Câu 7:Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x³ – 3mx + 2 cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính bằng 1 tại 2 điểm A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhất .

Lời giải:

y’ = 3x² – 3m

y’ = 0 ⇔  Hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi : m > 0

Khi đó tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: M(√m; -2m√m + 2)

Phương trình đt MN : 2mx + y – 2 = 0

( Học sinh có thể dùng cách lấy y chia cho y’)

Ta có : 

Dấu bằng xảy ra khi 

Câu 8:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm số y = 2x³ – 3(m + 1)x² + 6mx có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng : y = x + 2.

Lời giải:

Ta có : y = 6x² – 6(m + 1)x + 6m

y’ = 0 ⇔ 

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị là : m ≠ 1

Ta có : A(1; 3m – 1) B(m; -m³ + 3m² )

Hệ số góc đt AB là : k = -(m – 1)²

Đt AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2 khi và chỉ khi k = -1 ⇔ 

Trên đây là nội dung bài viết giúp bạn đọc hiểu rõ hơn về Điểm cực trị là gì?. Mọi thông tin trong bài viết Điểm cực trị là gì? Cách tìm cực trị của hàm số đều được xác thực rõ ràng trước khi đăng tải. Tuy nhiên đôi lúc vẫn không tránh khỏi những sai xót đáng tiếc. Hãy để lại bình luận xuống phía dưới bài viết để đội ngũ biên tập được nắm bắt ý kiến từ bạn đọc.

Đăng bởi THCS Bình Chánh trong chuyện mục Tổng hợp