Cát tuyến là gì? Tính chất của cát tuyến

Mời các em theo dõi nội dung bài học về Cát tuyến là gì? Tính chất của cát tuyến do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tốt và hoàn thành tốt bài tập của mình.

Cát tuyến là gì?

Cát tuyến là một từ Hán – Việt. Trong đó “Cát” nghĩa là cắt, còn “tuyến” có nghĩa là đường thẳng. Bởi vậy, cát tuyến chính là một đường thẳng cắt các đường khác (đường thẳng, đường tròn, đường cong,…)

Theo khái niệm trong sách giáo khoa bộ môn toán, thì cát tuyến chính là một đường thẳng cắt một đường thẳng khác. Cát tuyến của đường tròn chính là 1 đường thẳng cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt. Cát tuyến của 2 đường thẳng là 1 đường thẳng cắt 2 đường thẳng trên. Một vài trường hợp đặc biệt đó chính là cát tuyến đi qua tâm đường tròn.

Tính chất của cát tuyến

Cho 1 đường tròn tâm O với 2 đường thẳng là AB và CD, ta có:

• Nếu 2 đường thẳng chứa các dây AB và CD của 1 đường tròn cắt nhau tại điểm M thì MA.MB = MC.MD
• Đảo lại, nếu 2 đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm M và MA.MB = MC.MD thì 4 điểm A, B, C, D cũng sẽ thuộc cùng 1 đường tròn
• Nếu MC là tiếp tuyến, MAB là cát tuyến thì MC^2 = MA x MB = MO^2 – R^2
• Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn, ta kẻ lần lượt các tiếp tuyến KA, KB và cát tuyến KCD. Có H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, H, A, B, O cùng nằm trên 1 trung điểm.
• Từ điểm K nằm ngoài đường tròn, ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB với cát tuyến KCD đến đường tròn thì AC/AD = BC/BD. Ta có góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.

Cách vẽ cát tuyến như thế nào cho đúng?

Do đường cát tuyến có thể cắt cả đường tròn và đường cong nên sẽ có sự khác nhau trong cách vẽ mà bạn cần hết sức lưu ý. Cụ thể như sau:

Đối với cách vẽ đường cát tuyến cho đường tròn và đường cong

Muốn vẽ được đường cát tuyến cho một đường tròn bất kỳ rất đơn giản, bạn cần làm theo 2 bước dưới đây:

– Bước 1: Xác định chính xác 2 điểm bất kỳ phân biệt nằm trên đường tròn hoặc đường đường cong đó.

– Bước 2: Dùng bút để kẻ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt đã đề cập trước đó. Như thế là chúng ta đã có ngay được 1 cát tuyến đường tròn và đường cong rồi.

Đối với cách thức vẽ đường cát tuyến bất kỳ của hai đường thẳng

– Bước 1: Từ những gì đã có ở trên chúng ta cần xác định chính xác 2 điểm bất kỳ thuộc hai đường thẳng đó.

– Bước 2: Nhắm thật chuẩn rồi kẻ một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Như thế chúng ta cũng đã có được một đường cát tuyến của hai đường thẳng rồi.

Bài tập về cát tuyến

Bài 1: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

a) CM: MA.MA = MC.MD.

b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng CHOD nội tiếp và AB là đường phân giác của góc CHD.

d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CM: A, B, K thẳng hàng

Lời giải:

a) +) Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)

→ góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g)

→  (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

→ MA² = MC.MD (đpcm)

b) +) Có I là trung điểm của CD (giả thiết)

→ Góc MIO = 90⁰ = góc MAO = MBO

→ 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.

c) +) Có MA ⊥ OA, OM ⊥ AB tại H → MH. MO = MA² = MC. MD

→  → △ MHC ~ △ MDC → góc MHC = góc MDO

→ Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn

→ Góc OHD = góc OCD = góc ODC = góc MHC

→ 90⁰ – góc MHC = 90⁰ – góc OHD → góc CHB = góc BHD

→ HB là phân giác của góc CHD.

d) +) Có KC và KD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K của đường tròn (O)

→ Tứ giác KCOD nội tiếp đường tròn (hay 4 điểm K, C, O, D cùng thuộc một đường tròn)

mà tứ giác HODC nội tiếp đường tròn (chứng minh trên) (hay 4 điểm H, O, D, C cùng thuộc một đường tròn)

→ 5 điểm K, C, H, O, D cùng thuộc một đường tròn

→ HK là phân giác của góc CHD (do KC = KD)

→ 3 điểm A, B, K thẳng hàng.

Bài 2: Từ một điểm K nằm bên ngoài đường tròn, ta kẻ các tiếp tuyến lần lượt là KA, KB và kẻ thêm cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Gọi M chính là giao điểm của OK và AB. Vẽ dây DI đi qua M. Hãy chứng minh rằng:

a) KIOD là một hình tứ giác nội tiếp.

b) KO chính là phân giác của góc IKD.

Lời giải:

Bài 3: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó.

a, Chứng minh rằng ta luôn có MI² = MA.MB và tích này không phụ thuộc vị trí của cát tuyến MAB

b, Khi cho MT = 20cm, MB = 50cm, tính bán kính đường tròn?

Bài 4: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ các tiếp tuyến KA, KB cát tuyến KCD đến (O). Gọi là trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua H. Chứng minh BF // CD

Giải:

Bài 5: Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta (O), kẻ các tiếp tuyến KA, KB và kẻ cát tuyến KCD đến (O). Gọi H là trung điểm CD. Đường thẳng qua H song song với BD cắt AB tại I. Chứng minh CI ⊥ OB.

Bài 6. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ một cát tuyến MCD không đi qua tâm O của đường tròn và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Trong đó A, B là tiếp điểm và C nằm giữa M, D.

a) Chứng minh: MA² = MC.MD.

b) Lấy I là trung điểm đoạn thẳng CD. Chứng minh 4 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn.

c) Lấy H là giao điểm của hai đoạn thẳng AB và MO. Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn và AB là đường phân giác góc CHD.

d) Lấy K là giao điểm của các tiếp tuyến tại hai điểm C và D của đường tròn tâm O. Chứng minh A, B, K thẳng hàng

Bài giải

a)

Theo giả thuyết ta có MA là tiếp tuyến đường tròn (O)

=> góc MAC = góc MDA

=> ΔMAC ~ ΔMDA

=> MCMA = MAMD (cạnh tương ứng tỉ lệ)

Nên MA² = MC.MD

b)

Theo giả thuyết ta có I là trung điểm CD

=> Góc OIM = 90⁰ = góc OAM = góc OBM

=> M, A, O, I, B cùng nằm trên đường tròn đường kính OM

c)

Ta có MA ⊥ OA; AB ⊥ OM tại H

=> MH. MO = MA2 = MC. MD (chứng minh câu a)

=> MHMC = MOMD => ΔMHC ~ ΔMDO

=> góc MHC = góc MDO

=> Tứ giác HCDO nội tiếp đường tròn

=> Góc OHD = góc ODC = góc OCD = góc MHC

=> 90⁰ – góc MHC = 90⁰ – góc OHD

=> góc CHB = góc BHD

Nên HB là phân giác góc CHD

d)

Ta có 2 tiếp tuyến KC, KD của đường tròn (O) cắt nhau tại K

=> KDOC là tứ giác nội tiếp đường tròn

Theo chứng minh câu c ta có HOHC là tứ giác nội tiếp đường tròn

=> 5 điểm O, D, K, C, H cùng thuộc một đường tròn

=> HK là đường phân giác của góc DHC (vì KC = KD)

Suy ra 3 điểm A, B, K thẳng hàng.

Bài 7. Cho 2 đường thẳng song song a, b và một đường cát tuyến c. Hai tia phân giác của cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại điểm I. Chứng minh điểm I cách đều 3 đường thẳng a, b và c.

Bài giải

Gọi 3 điểm A, B, C lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm I đến a, b, c.

Xét hai góc trong cùng phía CEA và CFB ta có:

Do I nằm trên tia phân giác của góc CEA nên IA = IC (1)

Do I nằm trên tia phân giác của góc CFB nên IC = IB (2)

Từ (1) và (2) => IA = IB = IC

=> I cách đều đường thẳng a, b và c.

Bài 8. Từ điểm K nằm bên ngoài đường tròn tâm O, hãy kẻ các tiếp tuyến KA, KB và kẻ thêm đường cát tuyến KCD đến đường tròn. Lấy M là giao điểm AB và OK. Vẽ đoạn DI đi qua M. Chứng minh:

a) KIOD là tứ giác nội tiếp.

b) KO là đường phân giác góc IKD.

Bài giải

a)

Ta có tứ giác AIBD nội tiếp đường tròn (O) và AB ⋂ ID = M

=> MA.MB = MI.MD (1)

Mặt khác ta có góc KAO = góc KBO = 90⁰ => OBKA là tứ giác nội tiếp

=> MA.MB = MO.MK (2)

Từ (1) và (2) => MI.MD = MO.MK

=> KIOD là một tứ giác nội tiếp

b)

Vì KIOD là tứ giác nội tiếp

Nên góc DKO = góc DIO

góc OKI = góc ODI

Mà ΔDOI cân tại O nên góc DIO = góc DOI

=> góc DKO = góc OKI

Do đó KO là phân giác góc IKD

Bài 9. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến ADE. H là giao điểm AO và BC. Chứng minh H là trung điểm BC.

Bài giải

Xét tứ giác OBAC ta có góc B = góc C = 90⁰ (tính chất tiếp tuyến)

=> góc B + góc C = 180⁰

Mà hai góc này đối nhau => OBAC nội tiếp đường tròn

Ta có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau)

OB = OC = R

=> O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (1)

Ta có AB = AC (cmt)

=> A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC (2)

Từ (1) và (2) => OA là đường trung trực của đoạn BC

hay OA 丄 BC

Ta có ΔOBC cân tại O (OB = OC = R)

Mà OH là đường cao ΔOBC

Nên H là trung điểm BC

Bài 10. Từ điểm K ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến KA, KB và một cát tuyến KCD. Lấy H làm trung điểm CD. Vẽ dây AF đi qua điểm H. Chứng minh BF//CD.

Bài giải

Để chứng minh BF//CD ta cần chứng minh góc AHK = góc AFB (hai góc đồng vị nhau)

Ta có góc AFB = ½ góc AOB (góc nội tiếp chắn cung AB)

Mặt khác ta có KO là đường phân giác góc AOB

=> góc AOK = góc BOK = ½ góc AOB

=> góc AFB = góc AOK

Vì 5 điểm A, K, B, O, H cùng nằm trên đường tròn đường kính KO

Nên góc AHK = góc AOK => góc AFK = góc AHK

Nên BF // CD

***

Trên đây là nội dung bài học Cát tuyến là gì? Tính chất của cát tuyến do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn và tổng hợp. Hy vọng sẽ giúp các em hiểu rõ nội dung bài học và từ đó hoàn thành tốt bài tập của mình. Đồng thời luôn đạt điểm cao trong các bài thi bài kiểm tra sắp tới. Chúc các em học tập thật tốt.

Đăng bởi THCS Bình Chánh trong chuyên mục Học tập