Mời các em theo dõi nội dung bài học về Công thức Vi-ét lớp 9 và ví dụ cụ thể do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tốt và hoàn thành tốt bài tập của mình.
Mục lục
Công thức Vi-ét lớp 9
Hệ thức vi – ét
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:
Khi đó nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:
Ứng dụng của định lý Vi – ét
a) Tính nhẩm nghiệm
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 = c/a
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1 và nghiệm còn lại là x2 = -c/a
b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.
+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 – Sx + P = 0
+ Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
Phương pháp giải
Định lý Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 (phân biệt hoặc trùng nhau) thì tổng các nghiệm 
và tích các nghiệm 
.
Dạng 1: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.
Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-ét, kết hợp biến đổi đẳng thức, bất đẳng thức để tìm tham số.
Bước 4: Đối chiếu điều kiện và kết luận.
Dạng 2: Tìm tham số và tìm nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm x0 của phương trình.
Bước 1: Thay giá trị x0 vào phương trình để tìm tham số.
Bước 2: Thay giá trị của tham số hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
Bước 3: Kết luận.
Dạng 3: Khi phương trình bậc hai có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.
Bước 2: Tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo định lý Vi-ét.
Bước 3: Tính m theo S và P.
Bước 4: Khử m và tìm ra hệ thức.
Bước 5: Kết luận.
Dạng 4. Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
+) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = 
.
+) Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = 
.
Dạng 5. Tìm hai số khi biết tổng và tích
Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 .
Điều kiện để có u và v là S2 – 4P ≥ 0.
Các ví dụ điển hình
Ví dụ 1: Cho phương trình bậc hai (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số). Các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm nguyên là:
Lời giải
Chọn A
Ví dụ 2: Phương trình x2 + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x1 = 3, nghiệm còn lại là x2 bằng:
Lời giải
Chọn D
Ví dụ 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình x2 – (m + 3)x + 2m – 5 = 0 không phụ thuộc vào m.
Lời giải
Chọn A
Ví dụ 4: Cho phương trình x2 – 2x – 8 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là y1 = x1 – 3 và y2 = x2 – 3 là:
Lời giải
Chọn C
Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm m để phương trình x2 – 3mx + 2m2 + 6 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật có chu vi bằng 42 và diện tích bằng 104.
Lời giải:
Đáp án B
Bài 2: Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình x2 – 2(m – 1)x – 2m + 1 = 0 không phụ thuộc vào m là:
Lời giải:
Đáp án D
Bài 3: Phương trình 
có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Giá trị của biểu thức x12x2 + x1x22 bằng:
Lời giải:
Đáp án A
Bài 4: Gọi S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình x2 – 2x – 3 = 0. Giá trị của biểu thức S2 + 2P là:
Lời giải:
Đáp án B
Bài 5: Cho phương trình x2 – (m2 + 1)x + 3m2 – 8 = 0 (với m là tham số). Tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 = 4x2 là:
Lời giải:
Đáp án C
Bài 6: Phương trình nào sau đây có nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x2 + mx – 2 = 0?
Lời giải:
Đáp án B
Bài 7: Cho phương trình x2 – 2x – m2 = 0 có hai nghiệm x1 và x2. Phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là y1 = 2x1 – 1 và y2 = 2x2 – 1 là:
Lời giải:
Đáp án D
Bài 8: Cho phương trình bậc hai ẩn x , tham số m: mx2 – (2m + 3)x + m – 4 = 0. Với các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2, biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:
Lời giải:
Đáp án C
Bài 9: Tìm m để phương trình x2 + 3x + m – 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1(x14 – 1) + x2(32x24 – 1) = 3
Lời giải:
Đáp án D
Bài 10: Cho phương trình x2 – 2(m – 2)x – 2m = 0. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x2 – x1 = x12 là:
Lời giải:
Đáp án A
Bài 11: Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2(x1 + x2) – x1.x2
Hướng dẫn:
Ta có: Δ = (-3)2 – 4.1.2 = 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có:
Khi đó P = 2(x1 + x2) – x1.x2 = 2.3 – 2 = 4. Vậy P = 4
Bài 12: Tìm hai số khi biết tổng hai số đó là S = 5 và tích của hai số đó là P = 6 ?
Hướng dẫn:
Gọi x1, x2 là hai số cần tìm, khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – 5x + 6 = 0
Ta có Δ = (-5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0
Khi đó phương trình có hai nghiệm là:
Vậy hai số cần tìm là 3 và 2.
Bài 13: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 6.
Gọi hai số đó là x1 và x2
Vậy hai số cần tìm là 2 và 3.
Bài 14: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 11 và tích của chúng bằng 60.
Gọi hai số cần tìm là a, b
***
Trên đây là nội dung bài học Công thức Vi-ét lớp 9 và ví dụ cụ thể do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn và tổng hợp. Hy vọng sẽ giúp các em hiểu rõ nội dung bài học và từ đó hoàn thành tốt bài tập của mình. Đồng thời luôn đạt điểm cao trong các bài thi bài kiểm tra sắp tới. Chúc các em học tập thật tốt.
Đăng bởi THCS Bình Chánh trong chuyên mục Học tập
