Toán 10 Bài 4 Cánh diều: Nhị thức Newton| Giải Toán lớp 10

Mời các em theo dõi nội dung bài học do thầy cô trường Trung học Bình Chánh biên soạn sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức nội dung bài học tốt hơn.

Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 10 trang 18 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 18 Toán 10 Tập 2: Làm thế nào để khai triển các biểu thức (a + b)⁴, (a + b)⁵ một cách nhanh chóng?

Lời giải

Sau bài học này, ta sẽ biết khai triển các biểu thức (a + b)⁴, (a + b)⁵ một cách nhanh chóng bằng cách áp dụng công thức nhị thức Newton (a + b)ⁿ với n = 4; n = 5.

Khi đó ta có:

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴;

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Hoạt động trang 18 Toán 10 Tập 2:

Ta đã biết (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1 . a³ + 3 . a² . b¹ + 3 . a¹ . b² + 1 . b³.

a) Tính $C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3$.

b) Chọn số thích hợp cho $\boxed{?}$ trong khai triển sau:

(a + b)³  = $C_3^{\boxed{?}}.a^3+C_3^{\boxed{?}}.a^{3-\boxed{?}}.b^1+C_3^{\boxed{?}}.a^{3-\boxed{?}}.b^2+C_3^{\boxed{?}}.a^{3-\boxed{?}}.b^3$.

Lời giải

a) Ta tính được

$C_3^0=\mathrm{1,}{C}_3^1=\mathrm{3,}{C}_3^2=\mathrm{3,}{C}_3^3=1$ (có thể sử dụng máy tính cầm tay).

b) Do (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1 . a³ + 3 . a² . b¹ + 3 . a¹ . b² + 1 . b³

Mà theo câu a) ta có: $C_3^0=\mathrm{1,}{C}_3^1=\mathrm{3,}{C}_3^2=\mathrm{3,}{C}_3^3=1$.  

Vậy ta điền được:

(a + b)³  = $C_3^{\boxed{0}}.a^3+C_3^{\boxed{1}}.a^{3-\boxed{1}}.b^1+C_3^{\boxed{2}}.a^{3-\boxed{2}}.b^2+C_3^{\boxed{3}}.a^{3-\boxed{3}}.b^3$.

Giải Toán 10 trang 19 Tập 2

Luyện tập 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 + x)⁴.

Lời giải

Ta có:

(2 + x)⁴ 

= 2⁴ + 4 . 2³ . x + 6 . 2² . x² + 4 . 2 . x³ + x⁴

= 16 + 32x + 24x² + 8x³ + x⁴.

Luyện tập 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển biểu thức (2 − 3y)⁴.

Lời giải

Ta có: (2 – 3y)⁴ 

= [2 + (– 3y)]⁴ 

= 2⁴ + 4 . 2³ . (– 3y) + 6 . 2² . (– 3y)² + 4 . 2 . (– 3y)³ + (– 3y)⁴

= 16 – 96y + 216y² – 216y³ + 81y⁴.

Luyện tập 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Tính:

a) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$;

b) $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5$.

Lời giải

Ta có:

a) $C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$

$=C_4^0.1^4+C_4^1.1^3.1+C_4^2{.1}^2{.1}^2+C_4^3{\mathrm{.1.1}}^3+C_4^4{.1}^4$

= (1 + 1)⁴ 

= 2⁴ 

= 16.

b) $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5$

= $C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.\left(-1\right)+C_5^2{.1}^3.{\left(-1\right)}^2+C_5^3{.1}^2.{\left(-1\right)}^3+C_5^4\mathrm{.1.}{\left(-1\right)}^4+C_5^5.{\left(-1\right)}^5$

= [1 + (– 1)]⁵ 

= 0⁵

= 0.

B. Bài tập

Bài 1 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + 1)⁴;

b) (3y – 4)⁴;

c) ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^4$;

d) ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^4$.

Lời giải

a) (2x + 1)⁴ 

= (2x)⁴ + 4 . (2x)³ . 1 + 6 . (2x)² . 1² + 4 . (2x) . 1³ + 1⁴ 

= 16x⁴ + 32x³ + 24x² + 8x + 1.  

b) (3y – 4)⁴ 

= [3y + (– 4)]⁴ 

= (3y)⁴ + 4 . (3y)³ . (– 4) + 6 . (3y)² . (– 4)² + 4 . (3y) . (– 4)³ + (– 4)⁴ 

= 81y⁴ – 432y³ + 864y² – 768y + 256.

c) ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^4$

$=x^4+4.x^3.\frac{1}{2}+6.x^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+4.x.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

$=x^4+2x^3+\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$.

d) ${\left(x-\frac{1}{3}\right)}^4$

$={\left[x+\left(-\frac{1}{3}\right)\right]}^4$

$=x^4+4.x^3.\left(-\frac{1}{3}\right)+6.x^2.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2+4.x.{\left(-\frac{1}{3}\right)}^3+{\left(-\frac{1}{3}\right)}^4$

$=x^4-\frac{4}{3}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^2-\frac{4}{27}x+\frac{1}{81}$.

Bài 2 trang 19 Toán 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x + 1)⁵;

b) (x – 3y)⁵.

Lời giải

a) (x + 1)⁵

= x⁵ + 5 . x⁴ . 1 + 10 . x³ . 1² + 10 . x² . 1³ + 5 . x . 1⁴ + 1⁵

= x⁵ + 5x⁴ + 10x³ + 10x² + 5x + 1.

b) (x – 3y)⁵ 

= [x + (– 3y)]⁵

= x⁵ + 5 . x⁴ . (– 3y) + 10 . x³ . (– 3y)² + 10 . x² . (– 3y)³ + 5 . x . (– 3y)⁴ + (– 3y)⁵

= x⁵ – 15x⁴y + 90x³y² – 270x²y³ + 405xy⁴ – 243y⁵.

Bài 3 trang 19 Toán 10 Tập 2: Xác định hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵.

Lời giải

Số hạng chứa x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là $C_5^1.{\left(3x\right)}^4.2$.

Mà $C_5^1.{\left(3x\right)}^4.2$ = 5 . 81x⁴ . 2 = (5 . 2 . 81)x⁴ = 810x⁴.

Vậy hệ số của x⁴ trong khai triển biểu thức (3x + 2)⁵ là 810.  

Bài 4 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho

${\left(1-\frac{1}{2}x\right)}^5=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$. Tính:

a) a₃;

b) a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅.

Lời giải

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

${\left(1-\frac{1}{2}x\right)}^5={\left[1+\left(-\frac{1}{2}x\right)\right]}^5$$=1^5+{5.1}^4.\left(-\frac{1}{2}x\right)+{10.1}^3.{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^2+{10.1}^2.{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^3+\mathrm{5.1.}{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^4+{\left(-\frac{1}{2}x\right)}^5$

$=1-\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}{x}^2-\frac{5}{4}{x}^3+\frac{5}{16}{x}^4-\frac{1}{32}{x}^5$

$=1+\left(-\frac{5}{2}\right)x+\frac{5}{2}{x}^2+\left(-\frac{5}{4}\right)x^3+\frac{5}{16}{x}^4+\left(-\frac{1}{32}\right)x^5$.

a) Ta có a₃ là hệ số của x³ trong khai triển biểu thức ${\left(1-\frac{1}{2}x\right)}^5$.

Vậy $a_3=-\frac{5}{4}$.

b) Theo phân tích nhị thức Newton ở trên, ta suy ra:

$a_0=\mathrm{1,}{a}_1=-\frac{5}{2},a_2=\frac{5}{2},a_3=-\frac{5}{4},a_4=\frac{5}{16},a_5=-\frac{1}{32}$.

Khi đó: a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = $1+\left(-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)+\frac{5}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)$$=\frac{1}{32}$.

Vậy a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ $=\frac{1}{32}$.

Bài 5 trang 19 Toán 10 Tập 2: Cho tập hợp A có 5 phần tử. Số tập hợp con của A là bao nhiêu?

Lời giải

Mỗi cách trích ra một tập con gồm n phần tử trong 5 phần tử (0 ≤ n ≤ 5) của A chính là một tổ hợp chập n của 5, do đó số tập con gồm n phần tử của A là $C_5^n$.

Số tập hợp con có 0 phần tử của A là $C_5^0$.

Số tập hợp con có 1 phần tử của A là $C_5^1$.

Số tập hợp con có 2 phần tử của A là $C_5^2$.

Số tập hợp con có 3 phần tử của A là $C_5^3$.

Số tập hợp con có 4 phần tử của A là $C_5^4$.

Số tập hợp con có 5 phần tử của A là $C_5^5$.

Do đó, số tập hợp con của A là:

$C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5$

$=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.1+C_5^2{.1}^3{.1}^2+C_5^3{.1}^2{.1}^3+C_5^4{\mathrm{.1.1}}^4+C_5^5{.1}^5$

= (1 + 1)⁵ = 2⁵ = 32.

Vậy tập hợp A có 32 tập hợp con.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng. Sai số

Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 3: Các số liệu đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 4: Xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản

Đăng bởi: THCS Bình Chánh

Chuyên mục: Toán 10 Cánh Diều