Giải Toán 7 Bài 6 Cánh diều: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

Trường THCS Bình Chánh 24/07/2023

Mời các em theo dõi nội dung bài học do thầy cô trường Trung học Bình Chánh biên soạn sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức nội dung bài học tốt hơn.

Giải bài tập Toán 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

A. Câu hỏi trong bài

Bạn đang xem: Giải Toán 7 Bài 6 Cánh diều: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

Giải Toán 7 trang 88 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 88 Toán 7 Tập 2: Có ba trạm quan sát A, B, C trong đó trạm quan sát C ở giữa hồ.

Người ta muốn đo khoảng cách từ A và từ B đến C. Do không thể đo trực tiếp được các khoảng cách trên nên người ta làm như sau (Hình 55):

– Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°;

– Kẻ tia Ax sao cho $\hat{B A x} = 60 °$ , kẻ tia By sao cho $\hat{A B y} = 45 °$ , xác định giao điểm D của hai tia đó;

– Đo khoảng cách AD và BD. Ta có AC = AD và BC = BD.

Tại sao lại có hai đẳng thức trên?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Bài toán được mô tả bởi hai tam giác ABC và tam giác ABD như Hình 55.

$∆$ ABC, $∆$ ABD,

$\hat{B A C} = \hat{D A B} = 60 °,$

$\hat{A B C} = \hat{A B D} = 45 °$

AC = AD và BC = BD.

Chứng minh (Hình 55):

Xét $∆$ ABC và $∆$ ABD có:

$\hat{B A C} = \hat{D A B} (= 60 °)$ (giả thiết),

AB chung,

$\hat{A B C} = \hat{A B D} (= 45 °)$ (giả thiết)

Suy ra $∆$ ABC = $∆$ ABD (g.c.g)

Do đó AC = AD và BC = BD (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy AC = AD và BC = BD.

Hoạt động 1 trang 88 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC (Hình 56).

Những góc nào của tam giác ABC có cạnh thuộc đường thẳng AB?

Trong tam giác ABC (Hình 56), ta gọi góc A và góc B là hai góc kề cạnh AB. Tương tự, góc B và góc C là hai góc kề cạnh BC, góc C và góc A là hai góc kề cạnh CA.

Lời giải:

Ta có $\hat{B A C}$ gồm hai cạnh lần lượt thuộc hai đường thẳng AB và AC;

$\hat{A B C}$ gồm hai cạnh lần lượt thuộc hai đường thẳng AB và BC.

Vậy, những góc của tam giác ABC có cạnh thuộc đường thẳng AB là: $\hat{B A C}$ và $\hat{A B C}$

Hoạt động 2 trang 88 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ (Hình 57) có: $\hat{A} = \hat{A^{‘}} = 60 °,$ AB = A’B’ = 3 cm, $\hat{B} = \hat{B^{‘}} = 45 °$ .

Bằng cách đếm số ô vuông, hãy so sánh BC và B’C’. Từ đó có thể kết luận được hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau hay không?

Lời giải:

Dựa vào hình trên, bằng cách đếm số ô vuông, ta thấy:

+) Cạnh BC là đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 độ dài cạnh ô vuông;

+) Cạnh B’C’ là đường chéo của hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 độ dài cạnh ô vuông;

Do đó BC = B’C’.

Xét $∆$ ABC và $∆$ A’B’C’ có:

AB = A’B’ (= 3cm).

$\hat{A B C} = \hat{A^{‘} B^{‘} C^{‘}} (= 45 °)$ .

BC = B’C’ (chứng minh trên).

Suy ra $∆$ ABC = $∆$ A’B’C’ (c.g.c)

Vậy $∆$ ABC = $∆$ A’B’C’.

Giải Toán 7 trang 89 Tập 2

Luyện tập 1 trang 89 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ thỏa mãn: BC = B’C’ = 3 cm, $\hat{B} = \hat{B^{‘}} = 60 °$ , $\hat{C} = 50 °$ , $\hat{A^{‘}} = 70 °$ . Hai tam giác ABC và A’B’C’ có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

Xét tam giác A’B’C’ có: $\hat{A^{‘}} + \hat{B^{‘}} + \hat{C^{‘}} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\hat{C^{‘}} = 180 ° - \hat{A^{‘}} - \hat{B^{‘}} = 180 ° - 70 ° - 60 ° = 50 °$ .

Xét $∆$ ABC và $∆$ A’B’C’ có:

$\hat{B} = \hat{B^{‘}} (= 60 °)$ .

BC = B’C’ (theo giả thiết).

$\hat{C} = \hat{C^{‘}} (= 50 °)$ .

Suy ra $∆$ ABC = $∆$ A’B’C’ (g.c.g)

Vậy $∆$ ABC = $∆$ A’B’C’.

Luyện tập 2 trang 89 Toán 7 Tập 2: Giải thích bài toán ở phần mở đầu.

Lời giải:

Bài toán được mô tả bởi hai tam giác ABC và tam giác ABD như Hình 55.

$∆$ ABC, $∆$ ABD,

$\hat{B A C} = \hat{D A B} = 60 °,$

$\hat{A B C} = \hat{A B D} = 45 °$

AC = AD và BC = BD.

Chứng minh (Hình 55):

Xét $∆$ ABC và $∆$ ABD có:

$\hat{B A C} = \hat{D A B} (= 60 °)$ (giả thiết),

AB chung,

$\hat{A B C} = \hat{A B D} (= 45 °)$ (giả thiết)

Suy ra $∆$ ABC = $∆$ ABD (g.c.g)

Do đó AC = AD và BC = BD (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy AC = AD và BC = BD.

B. Bài tập

Giải Toán 7 trang 91 Tập 2

Bài 1 trang 91 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ thỏa mãn: AB = A’B’, $\hat{A} = \hat{A^{‘}}$ , $\hat{C} = \hat{C^{‘}}$ . Hai tam giác ABC và A’B’C’ có bằng nhau không? Vì sao?

Lời giải:

$∆$ ABC, $∆$ A’B’C’,

AB = A’B’, $\hat{A} = \hat{A^{‘}}, \hat{C} = \hat{C^{‘}}$

$∆$ ABC và $∆$ A’B’C’ có bằng nhau không? Vì sao?

Xét tam giác ABC có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\hat{B} = 180 ° - \hat{A} - \hat{C}$ .

Xét tam giác A’B’C’ có: $\hat{A^{‘}} + \hat{B^{‘}} + \hat{C^{‘}} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\hat{B^{‘}} = 180 ° - \hat{A^{‘}} - \hat{C^{‘}}$ .

Mà $\hat{A} = \hat{A^{‘}}$ , $\hat{C} = \hat{C^{‘}}$ (giả thiết) nên $\hat{ B} = \hat{B^{‘}}$ .

Xét $∆$ ABC và $∆$ A’B’C’ có:

$\hat{A} = \hat{A^{‘}}$ (giả thiết),

AB = A’B’ (giả thiết),

$\hat{ B} = \hat{B^{‘}}$ (giả thiết).

Suy ra $∆$ ABC = $∆$ A’B’C’ (g.c.g).

Vậy $∆$ ABC = $∆$ A’B’C’.

Bài 2 trang 91 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 65 có AM = BN, $\hat{A} = \hat{B}$ .

Chứng minh: OA = OB, OM = ON.

Lời giải:

$∆$ AMO, $∆$ BNO,

AM = BN, $\hat{A} = \hat{B}$ .

OA = OB, OM = ON.

Chứng minh (Hình 65):

Xét $∆$ AMO có: $\hat{A M O} + \hat{A} + \hat{A O M} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\hat{A M O} = 180 ° - \hat{A} - \hat{A O M}$ . (1)

Xét $∆$ BNO có: $\hat{B N O} + \hat{B} + \hat{B O N} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\hat{B N O} = 180 ° - \hat{B} - \hat{B O N}$ . (2)

Mà $\hat{A} = \hat{B}$ (theo giả thiết), $\hat{A O M} = \hat{B O N}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\hat{A M O} = \hat{B N O}$ .

Xét $∆$ AMO và $∆$ BNO có:

$\hat{A} = \hat{B}$ (giả thiết).

AM = BN (giả thiết).

$\hat{A M O} = \hat{B N O}$ (chứng minh trên).

Suy ra $∆$ AMO và $∆$ BNO (g.c.g).

Do đó OA = OB và OM = ON (các cặp cạnh tương ứng).

Giải Toán 7 trang 92 Tập 2

Bài 3 trang 92 Toán 7 Tập 2:

Cho Hình 66 có $\hat{N} = \hat{P} = 90 °, \hat{P M Q} = \hat{N Q M} .$ Chứng minh MN = QP, MP = QN.

Lời giải:

$∆$ MNQ, $∆$ MPQ,

$\hat{N} = \hat{P} = 90 °, \hat{P M Q} = \hat{N Q M} .$

MN = QP, MP = QN.

Chứng minh (Hình 66):

Tam giác MNQ có $\hat{N} = 90 °$ (giả thiết) nên tam giác MNQ vuông tại N.

Tam giác QPM có $\hat{P} = 90 °$ (giả thiết) nên tam giác MPQ vuông tại P.

Xét $∆$ MNQ (vuông tại N) và $∆$ MPQ (vuông tại P) có:

$\hat{N Q M} = \hat{P M Q}$ (giả thiết).

MQ chung.

Suy ra $∆$ MNQ = $∆$ QPM (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó MN = QP và MP = QN (các cặp cạnh tương ứng).

Vậy MN = QP và MP = QN.

Bài 4 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 67 có $\hat{A H D} = \hat{B K C} = 90 °,$ DH = CK, $\hat{D A B} = \hat{C B A} .$ Chứng minh AD = BC.

Lời giải:

$∆$ AHD, $∆$ BKC,

$\hat{A H D} = \hat{B K C} = 90 °,$

DH = CK, $\hat{D A B} = \hat{C B A} .$

AD = BC.

Chứng minh (Hình 67):

Xét tam giác AHD có: $\hat{D A B}$ là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác nên $\hat{D A B} = \hat{A H D} + \hat{A D H}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Hay $\hat{D A B} = 90 ° + \hat{A D H}$ .

Xét tam giác BKC có: $\hat{C B A}$ là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác nên $\hat{C B A} = \hat{B K C} + \hat{B C K}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Hay $\hat{C B A} = 90 ° + \hat{B C K}$ .

Mà $\hat{D A B} = \hat{C B A}$ (giả thiết) nên $\hat{A D H} = \hat{B C K}$ .

Tam giác AHD có $\hat{A H D} = 90 °$ nên là tam giác vuông tại H.

Tam giác BKC có $\hat{B K C} = 90 °$ nên là tam giác vuông tại K.

Xét $∆$ AHD (vuông tại H) và $∆$ BKC (vuông tại K) có:

DH = CK (giả thiết),

$\hat{A D H} = \hat{B C K}$ (chứng minh trên).

Suy ra $∆$ AHD = $∆$ BKC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Do đó AD = BC (hai cạnh tương ứng).

Vậy AD = BC.

Bài 5 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{B} > \hat{C} .$ Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D.

a) Chứng minh $\hat{A D B} < \hat{A D C}$ .

b) Kẻ tia Dx nằm trong góc ADC sao cho $\hat{A Dx} = \hat{A D B}$ . Giả sử tia Dx cắt cạnh AC tại điểm E. Chứng minh: $∆$ ABD = $∆$ AED, AB < AC.

Lời giải:

$∆$ ABC, $\hat{B} > \hat{C} .$

AD là tia phân giác của $\hat{B A C}$

b) Tia Dx nằm trong $\hat{A D C}$ , $\hat{A DE} = \hat{A D B}$ (E là giao điểm của Dx và AC)

a) $\hat{A D B} < \hat{A D C}$ .

b) $∆$ ABD = $∆$ AED, AB < AC.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Xét tam giác ABD có: $\hat{A DC}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên $\hat{A D C} = \hat{B A D} + \hat{B}$ .

Xét tam giác ABD có: $\hat{A D C}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác nên $\hat{A D B} = \hat{C A D} + \hat{C}$ .

Mà AD là tia phân giác của $\hat{B A C}$ (giả thiết) nên $\hat{B A D} = \hat{C A D}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Lại có $\hat{B} > \hat{C}$ (giả thiết) nên $\hat{B A D} + \hat{B} > \hat{C A D} + \hat{C}$ hay $\hat{A D C} > \hat{A D B}$ .

Vậy $\hat{A D B} < \hat{A D C}$

b) Xét $∆$ ABD và $∆$ AED có:

$\hat{B A D} = \hat{E A D}$ (chứng minh trên),

AD chung,

$\hat{A D B} = \hat{A D E}$ (giả thiết).

Suy ra $∆$ ABD = $∆$ AED (g.c.g).

Vậy $∆$ ABD = $∆$ AED.

* Chứng minh AB < AC:

Cách 1:

Vì $∆$ ABD = $∆$ AED (chứng minh trên) nên AB = AE (hai cạnh tương ứng)

Mà AE < AC (do điểm E nằm trên cạnh AC)

Nên AB < AC.

Vậy AB < AC.

Cách 2: Xét tam giác ABC có $\hat{B} > \hat{C}$ (giả thiết)

Mà cạnh AB đối diện với góc C, cạnh AC đối diện với góc C

Do đó AC > AB.

Vậy AB < AC.

Bài 6 trang 92 Toán 7 Tập 2: Cho $∆$ ABC = $∆$ MNP. Tia phân giác của góc BAC và NMP lần lượt cắt các cạnh BC và NP tại D, Q. Chứng minh AD = MQ.

Lời giải:

$∆$ ABC = $∆$ MNP,

AD là tia phân giác của $\hat{B A C},$

MQ là tia phân giác của $\hat{N M P},$

AD = MQ.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):