Học Tập Lớp 10 Toán 10 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 Bài 4 Chân trời sáng tạo: Tích vô hướng của hai vectơ | Giải Toán lớp 10

Trường THCS Bình Chánh 24/07/2023

Mời các em theo dõi nội dung bài học do thầy cô trường Trung học Bình Chánh biên soạn sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức nội dung bài học tốt hơn.

Giải bài tập Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Giải Toán 10 trang 98 Tập 1

Bạn đang xem: Giải Toán 10 Bài 4 Chân trời sáng tạo: Tích vô hướng của hai vectơ | Giải Toán lớp 10

Hoạt động khám phá 1 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a) Tính $\hat{I D C}$ .

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.

c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\vec{I B}$ và $\vec{A B}$ .

Lời giải:

a) Hình vuông ABCD có tâm I nên IA = IB = IC = ID và AC $⊥$ BC tại I.

Do đó tam giác IDC vuông cân tại I.

Khi đó $\hat{I D C}$ = 45^o.

b) Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là I là vectơ $\vec{D I}$ .

Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là C là vectơ $\vec{D C}$ .

c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\vec{I B}$ là vectơ $\vec{D I}$ .

Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\vec{A B}$ là vectơ $\vec{D C}$ .

Giải Toán 10 trang 99 Tập 1

Thực hành 1 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc: $(\vec{A B}, \vec{A C}), (\vec{A B}, \vec{B C}), (\vec{A H}, \vec{B C}), (\vec{B H}, \vec{B C})$ , $(\vec{H B}, \vec{B C})$ .

Lời giải:

Dựng hình bình hành ABCD.

Do tam giác ABC đều nên $\hat{B A C}$ = 60^o, do đó $(\vec{A B}, \vec{A C})$ = 60^o.

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{B C} = \vec{A D}$ .

Do đó $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D})$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\hat{A B C} + \hat{B A D} = 180 °$ .

Do đó $\hat{B A D} = 180 ° - \hat{A B C}$ = 180^o– 60^o = 120^o.

Khi đó $(\vec{A B}, \vec{A D})$ = 120^o hay $(\vec{A B}, \vec{B C})$ = 120^o.

Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác ABC.

Do đó AH $⊥$ BC nên $(\vec{A H}, \vec{B C})$ = 90^o.

Hai vectơ $\vec{B H}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng nên $(\vec{B H}, \vec{B C})$ = 0^o.

Hai vectơ $\vec{H B}$ và $\vec{B C}$ ngược hướng nên $(\vec{H B}, \vec{B C})$ = 180^o.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Hoạt động khám phá 2 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ kéo môt chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ , biết rằng góc giữa vectơ $\vec{F}$ và hướng di chuyển là 45°. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\vec{F}$ , độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{d}$ ).

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng:

$|\vec{F}| . |\vec{d}| . \cos (\vec{F}, \vec{d})$ = 10 . 100 . cos 45^o ≈ 707 J.

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ khoảng 707 J.

Giải Toán 10 trang 100 Tập 1

Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$ . Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}$ .

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB $⊥$ AC.

Do đó $\vec{A B} ⊥ \vec{A C} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = \vec{0}$ .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông cân tại A ta có:

AB² + AC² = BC²

$\Rightarrow$ 2AB² = 2

$\Rightarrow$ AB² = 1

$\Rightarrow$ AB = 1 (do AB là độ dài đoạn thẳng nên AB > 0)

Tam giác vuông cân tại A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ = 45^o.

Ta có $\vec{A C} . \vec{B C} = - \vec{C A} . (- \vec{C B}) = \vec{C A} . \vec{C B}$ .

$\vec{C A} . \vec{C B} = |\vec{C A}| . |\vec{C B}| . \cos (\vec{C A} . \vec{C B})$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos $\hat{A C B}$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos 45^o = 1.

Do đó $\vec{A C} . \vec{B C}$ = 1.

$\vec{B A} . \vec{B C} = |\vec{B A}| . |\vec{B C}| . \cos (\vec{B A}, \vec{B C})$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos $\hat{A B C}$ = 1 . $\sqrt{2}$ . cos 45^o = 1.

Do đó $\vec{B A} . \vec{B C}$ = 1.

Thực hành 3 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là $12 \sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Lời giải:

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) = 12 \sqrt{2}$

$\Rightarrow$ 3 . 8 . $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = 12 \sqrt{2}$

$\Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b})$ = 45^o.

Vậy góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng 45°.

Vận dụng 1 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\vec{F}$ . Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Lời giải:

Do vật dịch chuyển cùng hướng với $\vec{F}$ nên góc tạo bởi vectơ hướng di chuyển của vật và $\vec{F}$ bằng 0^o.

Khi đó công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng:

20 . 50 . cos 0^o = 1 000 J.

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng 1 000 J.

3. Tính chất của tích vô hướng

Giải Toán 10 trang 101 Tập 1

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2}; {(\vec{i} - \vec{j})}^{2}; (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j})$ .

b) Cho $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Tính tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải:

Do hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc nên $\vec{i} . \vec{j} = |\vec{i}| . |\vec{j}| c o s 90 ° = 0$ .

a) Ta có ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2} = {|\vec{i}|}^{2} + 2 |\vec{i}| . |\vec{j}| . c o s 90 ° + {|\vec{j}|}^{2}$ = 1² + 2 . 0 + 1² = 2.

${(\vec{i} - \vec{j})}^{2} = {\vec{i}}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} + {\vec{j}}^{2} = {|\vec{i}|}^{2} - 2 |\vec{i}| . |\vec{j}| . c o s 90 ° + {|\vec{j}|}^{2}$ = 1²– 2 . 0 + 1² = 2.

$(\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = {\vec{i}}^{2} - {\vec{j}}^{2}$ = ${|\vec{i}|}^{2} - {|\vec{j}|}^{2}$ = 1²– 1² = 0.

b) $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j} = 2 (\vec{i} + \vec{j})$ ; $\vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j} = 3 (\vec{i} - \vec{j})$ .

Do đó $\vec{a} . \vec{b} = 2 (\vec{i} + \vec{j}) .3 (\vec{i} - \vec{j}) = 6 (\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j})$ = 6 . 0 = 0.

Khi đó cos $(\vec{a}, \vec{b})$ = $\frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|}$ = 0 (do $|\vec{a}|$ > 0 và $|\vec{b}|$ > 0).

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b})$ = 90^o.

Vận dụng 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Phân tử sulfur dioxide (SO₂) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\hat{O S O}$ gần bằng 120°. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ $\vec{μ_{1}}$ và $\vec{μ_{2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO₂. Tính độ dài của $\vec{μ}$ .

Lời giải:

Do $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ nên $|\vec{μ}| = |\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}|$ .

Ta có ${|\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}|}^{2} = {(\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}})}^{2} = {\vec{μ_{1}}}^{2} + 2 \vec{μ_{1}} . \vec{μ_{2}} + {\vec{μ_{2}}}^{2}$

$= 1, 6^{2} + 2 |\vec{μ_{1}}| . |\vec{μ_{2}}| . \cos (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}}) + 1, 6^{2}$

= 1,6² + 2 . 1,6 . 1,6 . cos 120^o + 1,6²

= 2,56

Do đó $|\vec{μ}| = |\vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}| = \sqrt{2, 56}$ = 1,6.

Vậy độ dài của $\vec{μ}$ bằng 1,6 đơn vị.

Bài tập

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A D}$ , $\vec{A B} . \vec{A C}$ , $\vec{A C} . \vec{CB}$ , $\vec{A C} . \vec{BD}$ .

Lời giải:

AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh bằng a nên

AC = $\sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2} a$ .

Ta có ABCD là hình vuông nên AC = BD = $\sqrt{2} a$ .

Vì AB $⊥$ AD nên $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$ ⇒ $\vec{A B} . \vec{A D}$ = 0.

Tam giác ABC vuông cân tại B nên $\hat{B A C} = \hat{B C A}$ = 45^o.

$\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$ = a . $\sqrt{2} a$ . cos $\hat{B A C}$ = $\sqrt{2}$ a² . cos 45^o = a².

Do đó $\vec{A B} . \vec{A C}$ = a².

$\vec{A C} . \vec{CB} = - \vec{C A} . \vec{CB} = - |\vec{C A}| . |\vec{C B}| . \cos (\vec{C A}, \vec{CB})$

= – $\sqrt{2} a$ . a . cos $\hat{B C A}$ = $- \sqrt{2}$ a² . cos 45^o = -a².

Do đó $\vec{A C} . \vec{CB}$ = -a².

Do ABCD là hình vuông nên AC $⊥$ BD.

Do đó $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ nên $\vec{A C} . \vec{B D} =$ 0.

Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A O}$

b) $\vec{A B} . \vec{A D}$

Lời giải:

a) AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài hai cạnh lần lượt là 2a và a.

Do đó AC = $\sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} = \sqrt{5} a$ (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).

Hình chữ nhật ABCD có tâm O nên O là trung điểm của AC.

Do đó AO = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{\sqrt{5} a}{2}$ .

Tam giác ABC vuông tại B nên $cos \hat{B A C} = \frac{A B}{A C} = \frac{2 a}{\sqrt{5} a} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ .

$\vec{A B} . \vec{A O} = |\vec{A B}| . |\vec{A O}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A O})$ = 2a . $\frac{\sqrt{5} a}{2}$ . cos $\hat{B A O}$ = = 2a . $\frac{\sqrt{5} a}{2}$ . $\frac{2}{\sqrt{5}}$ = 2a².

Vậy $\vec{A B} . \vec{A O} = 2 a^{2}$ .

b) Do AB $⊥$ AD nên $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$ do đó $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$ .

Bài 3 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Do O nằm ngoài đoạn thẳng AB nên hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ cùng hướng.

Do đó $(\vec{O A}, \vec{O B})$ = 0^o.

Khi đó $\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . \cos (\vec{O A}, \vec{O B})$ = a . b . cos 0^o = a.b.

Do O nằm trong đoạn thẳng AB nên hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng.

Do đó $(\vec{O A}, \vec{O B})$ = 180^o.

Khi đó $\vec{O A} . \vec{O B} = |\vec{O A}| . |\vec{O B}| . \cos (\vec{O A}, \vec{O B})$ = a . b . cos 180^o = -a.b.

Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: $\vec{M A} . \vec{M B} = M O^{2} - O A^{2}$ .

Lời giải:

Do O là trung điểm của AB nên $- \vec{O A} = \vec{O B}$ .

Khi đó $\vec{M A} . \vec{M B} = (\vec{M O} + \vec{O A}) . (\vec{M O} + \vec{O B}) = (\vec{M O} + \vec{O A}) . (\vec{M O} - \vec{O A})$

$= {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$ = MO²– OA².

Vậy $\vec{M A} . \vec{M B}$ = MO²– OA².

Bài 5 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực $\vec{F}$ hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ bằng: $\vec{F} . \vec{d} = |\vec{F}| . |\vec{d}| . c o s (\vec{F}, \vec{d}) =$ 90 . 100 . cos 60^o = 4 500 J.