Học Tập Lớp 10 Toán 10 Chân trời sáng tạo

Toán 10 Bài 1 Chân trời sáng tạo: Dấu của tam thức bậc hai | Giải Toán lớp 10

Trường THCS Bình Chánh 24/07/2023

Mời các em theo dõi nội dung bài học do thầy cô trường Trung học Bình Chánh biên soạn sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức nội dung bài học tốt hơn.

Giải bài tập Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Giải Toán 10 trang 6 Tập 2

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 1 Chân trời sáng tạo: Dấu của tam thức bậc hai | Giải Toán lớp 10

Hoạt động khởi động trang 6 Toán lớp 10 Tập 2: Cầu vòm được thiết kế với thanh vòm hình parabol và mặt cầu đi ở giữa. Trong hệ trục tọa độ như hình vẽ, phương trình của cầu vòm là y = h(x) = -0,006x² + 1,2x – 30. Với giá trị h(x) như thế nào thì tại vị trí x (0 ≤ x ≤ 200), vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải bài toán trên như sau:

Quan sát hình vẽ ta thấy mặt cầu là trục Ox, phần h(x) nằm phía trên mặt cầu nghĩa là h(x) nằm phía trên trục hoành hay là h(x) > 0.

Phần h(x) nằm phía dưới mặt cầu nghĩa là h(x) nằm phía dưới trục hoành hay là h(x) < 0.

Vậy với giá trị của h(x) > 0 thì vòm cầu cao hơn mặt cầu, với giá trị của h(x) < 0 thì vòm cầu thấp hơn mặt cầu.

Hoạt động khám phá 1 trang 6 Toán lớp 10 Tập 2: Đồ thị của hàm số y = f(x) = – x² + x + 3 được biểu diễn trong Hình 1.

a) Biểu thức f(x) là đa thức bậc mấy?

b) Xác định dấu của f(2).

Lời giải:

a) Biểu thức f(x) là đa thức bậc 2.

b) Dựa vào đồ thị ta thấy với x = 2 thì f(2) = 1 > 0.

Vậy f(2) mang dấu dương.

Giải Toán 10 trang 7 Tập 2

Thực hành 1 trang 7 Toán lớp 10 Tập 2: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 1.

a) f(x) = 2x² + x – 1;

b) g(x) = – x⁴ + 2x² + 1;

c) h(x) = – x² + $\sqrt{2}$ x – 3.

Lời giải:

a) Biểu thức f(x) = 2x² + x – 1 có dạng tam thức bậc hai với a = 2, b = 1 và c = -1 .

Với x = 1 thì f(1) = 2.1² + 1 – 1 = 2 > 0.

b) Biểu thức g(x) = – x⁴ + 2x² + 1 không có dạng tam thức bậc hai vì bậc của đa thức là bậc 4.

c) Biểu thức h(x) = – x² + $\sqrt{2}$ x – 3 có dạng tam thức bậc hai với a = -1, b = $\sqrt{2}$ , c = -3.

Với x = 1 thì h(1) = – 1² + $\sqrt{2}$ .1 – 3 = $\sqrt{2}$ – 4 < 0.

Thực hành 1 trang 7 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm biệt thức và nghiệm của tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 2x² – 5x + 2;

b) g(x) = – x² + 6x – 9;

c) h(x) = 4x² – 4x + 9.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 5x + 2 có ∆ = (-5)² – 4.2.2 = 25 – 16 = 9 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

x₁= $\frac{- (- 5) + \sqrt{9}}{2.2}$ = 2 và x₂= $\frac{- (- 5) - \sqrt{9}}{2.2} = \frac{1}{2}$ .

Vậy biệt thức ∆ = 9 và tam thức có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂= $\frac{1}{2}$ .

b) Tam thức bậc hai g(x) = – x² + 6x – 9 có ∆ = 6² – 4.(-1).(-9) = 36 – 36 = 0. Do đó g(x) có nghiệm kép là:

x₁= x₂ = $\frac{- 6 + \sqrt{0}}{2. (- 1)} = 3$ .

Vậy biệt thức ∆ = 0 và tam thức có hai nghiệm kép x = 3.

c) Tam thức bậc hai h(x) = 4x² – 4x + 9 có ∆ = 4² – 4.4.9 = 16 – 144 = – 128 < 0. Do đó f(x) vô nghiệm.

Giải Toán 10 trang 8 Tập 2

Hoạt động khám phá 2 trang 8 Toán lớp 10 Tập 2: Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình dưới đây. Trong mỗi trường hợp hãy cho biết:

– Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức ∆.

– Các khoảng giá trị của x mà trên đó f(x) cùng dấu với hệ số của x².

Lời giải:

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số không cắt trục hoành nên tam thức f(x) = – x² + 2x – 2 vô nghiệm.

Ta có ∆ = 2² – 4(-1).(-2) = 4 – 8 = – 4 < 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = -1 < 0.

Ta thấy toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0 với mọi x.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.

b) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = 1 nên tam thức f(x) = – x² + 2x – 1 có một nghiệm duy nhất x = 1.

Ta có ∆ = 2² – 4(-1).(-1) = 4 – 4 = 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = -1 < 0.

Ta thấy với x ≠ 1 toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0 với x ≠ 1 và f(x) = 0 với x = 1.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với x ≠ 1.

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ = – 1 và x₂ = 3 nên tam thức f(x) = – x² + 2x + 3 có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 1 và x₂ = 3.

Ta có ∆ = 2² – 4.3.(-1) = 4 + 12 = 16 > 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = -1 < 0.

Ta thấy với x < - 1 hoặc x > 3 thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, với -1 < x < 3 thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành hay f(x) < 0 với x < -1 hoặc x > 3; f(x) > 0 với -1 < x < 3 và f(x) = 0 tại x = -1 hoặc x = 3.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với x < -1 hoặc x > 3.

d) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số không cắt trục hoành nên tam thức f(x) = x² + 6x + 10 vô nghiệm.

Ta có ∆ = 6² – 4.1.10 = 36 – 40 = – 4 < 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = 1 > 0.

Ta thấy toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0 với mọi x.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.

e) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = -3 nên tam thức f(x) = x² + 6x + 9 có một nghiệm duy nhất x = -3.

Ta có ∆ = 6² – 4.1.9 = 36 – 36 = 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = 1 > 0.

Ta thấy với x ≠ -3 toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0 với x ≠ – 3 và f(x) = 0 với x = -3.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với x ≠ -3.

g) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ = -4 và x₂ = -2 nên tam thức f(x) = x² + 6x + 8 có hai nghiệm phân biệt x₁ = -4 và x₂ = -2.

Ta có ∆ = 6² – 4.1.8 = 36 – 32 = 4 > 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = 1 > 0.

Ta thấy với x < - 4 hoặc x > -2 thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, với -4 < x < -2 thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành hay f(x) > 0 với x < -4 hoặc x > 2; f(x) < 0 với -4 < x < -2 và f(x) = 0 tại x = -4 hoặc x = -2.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với x < -4 hoặc x > -2.

Giải Toán 10 trang 9 Tập 2

Thực hành 3 trang 9 Toán lớp 10 Tập 2: Xét dấu của tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 2x² – 3x – 2;

b) g(x) = – x² + 2x – 3.

Lời giải:

a) Tam thức f(x) = 2x² – 3x – 2 có ∆ = (-3)² – 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $- \frac{1}{2}$ và x₂= 2 và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f(x) âm trong khoảng $(- \frac{1}{2}; 2)$ và dương trong hai khoảng $(- \infty; - \frac{1}{2})$ và (2; +∞).

Vậy với x ∈ $(- \frac{1}{2}; 2)$ thì f(x) < 0 và x ∈ $(- \infty; - \frac{1}{2})$ hoặc x ∈ (2; +∞) thì f(x) > 0.

b) Tam thức g(x) = – x² + 2x – 3 có ∆ = 2² – 4.(-1).(-3) = 4 – 12 = – 8 < 0. Do đó g(x) vô nghiệm và a = -1 < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy g(x) âm với mọi giá trị thực của x.

Vậy g(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ.

Vận dụng trang 9 Toán lớp 10 Tập 2: Xét dấu tam thức bậc hai h(x) = -0,006x² + 1,2x – 30 trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu.

Lời giải:

Ta có h(x) = -0,006x² + 1,2x – 30 là tam thức bậc hai. h(x) có ∆ = 1,2² – 4.(-0,006).(-30) = 0,72 > 0. Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt là x₁ ≈ 170,7 và x₂ ≈ 29,3 và a = – 0,006 < 0.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy f(x) dương trong khoảng (29,3; 170,7) và âm trong hai khoảng (-∞; 29,3) và (170,7; +∞).

Kết hợp với điều kiện 0 ≤ x ≤ 200 thì f(x) dương khi x ∈ (29,3; 170,7) và f(x) âm khi x ∈ [0; 29,3) và (170,7; 200].

Vậy với giá trị của x ∈ (29,3; 170,7) thì vòm cầu cao hơn mặt cầu, với giá trị của x nằm trong hai khoảng (-∞; 29,3) và (170,7; +∞) thì vòm cầu thấp hơn mặt cầu.

B. Bài tập

Bài 1 trang 9 Toán lớp 10 Tập 2: Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

a) 4x² + 3x + 1;

b) x³ + 3x² – 1;

c) 2x² + 4x – 1.

Lời giải:

a) 4x² + 3x + 1 là tam thức bậc hai với a = 4, b = 3 và c = 1.

b) x³ + 3x² – 1 không là tam thức bậc hai vì bậc của đa thức là 3.

c) 2x² + 4x – 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 4 và c = -1.

Bài 2 trang 9 Toán lớp 10 Tập 2: Xác định giá trị của m để đa thức sau là tam thức bậc hai.

a) (m + 1)x² + 2x + m;

b) mx³ + 2x² – x + m;

c) – 5x² + 2x – m + 1.

Lời giải:

a) Để đa thức (m + 1)x² + 2x + m là tam thức bậc hai thì hệ số của x² phải khác 0.

Suy ra m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ – 1.

Vậy với m ≠ – 1 thì đa thức (m + 1)x² + 2x + m là tam thức bậc hai.

b) Để đa thức mx³ + 2x² – x + m là tam thức bậc hai thì bậc cao nhất của đa thức là 2 do đó hệ số của x³ phải bằng 0 hay m = 0.

Vậy với m = 0 thì đa thức mx³ + 2x² – x + m là tam thức bậc hai.

c) Để đa thức – 5x² + 2x – m + 1 thỏa mãn là tam thức bậc hai với mọi m.

Giải Toán 10 trang 10 Tập 2

Bài 3 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Lời giải:

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ = – 2 và x₂ = $\frac{1}{2}$ . Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 2, x₂ = $\frac{1}{2}$ và a = 1 > 0.

Với x thuộc khoảng (-∞; -2) và $(\frac{1}{2}; + \infty)$ thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành hay f(x) > 0 khi x thuộc khoảng (-∞; -2) và $(\frac{1}{2}; + \infty)$ .

Với x thuộc khoảng $(- 2; \frac{1}{2})$ thì đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành hay f(x) < 0 khi x ∈ $(- 2; \frac{1}{2})$ .

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

b) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Do đó g(x) vô nghiệm và a = 1 > 0.

Hơn nữa toàn bộ đồ thị hàm số g(x) nằm phía trên trục hoành với mọi giá trị của x nên g(x) > 0 với mọi x.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số h(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = $- \frac{2}{3}$ . Do đó h(x) có nghiệm duy nhất x = $- \frac{2}{3}$ và a = – 9 < 0.

Với x = $- \frac{2}{3}$ thì h(x) = 0;

Với x ≠ $- \frac{2}{3}$ thì đồ thị hàm số h(x) nằm hoàn toàn dưới trục hoành nên h(x) < 0 với x ≠ $- \frac{2}{3}$ .

Khi đó ta có bảng xét dấu:

d) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Do đó f(x) vô nghiệm và a = -0,5 < 0.

Hơn nữa toàn bộ đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành với mọi giá trị của x nên f(x) < 0 với mọi x.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

e) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ = – 2 và x₂ = $\frac{3}{2}$ . Do đó g(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 2, x₂ = $\frac{3}{2}$ và a = -1 < 0.

Với x thuộc khoảng (-∞; -2) và $(\frac{3}{2}; + \infty)$ thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành hay g(x) < 0 khi x thuộc khoảng (-∞; -2) và $(\frac{3}{2}; + \infty)$ .

Với x thuộc khoảng $(- 2; \frac{3}{2})$ thì đồ thị hàm số nằm trên trục hoành hay g(x) > 0 khi x ∈ $(- 2; \frac{3}{2})$ .

Ta có bảng xét dấu g(x) như sau:

g) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số h(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = $- \sqrt{2}$ . Do đó h(x) có nghiệm duy nhất x = $- \sqrt{2}$ và a = 1 > 0.

Với x = $- \sqrt{2}$ thì h(x) = 0;

Với x ≠ $- \sqrt{2}$ thì đồ thị hàm số h(x) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên h(x) > 0 với x ≠ $- \frac{2}{3}$ .

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Bài 4 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Xét dấu của tam thức bậc hai sau đây:

a) f(x) = 2x² + 4x + 2;

b) f(x) = – 3x² + 2x + 21;

c) f(x) = – 2x² + x – 2;

d) f(x) = -4x(x + 3) – 9;

e) f(x) = (2x + 5)(x – 3).

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 4x + 2 có ∆ = 4² – 4.2.2 = 16 – 16 = 0. Do đó f(x) có một nghiệm kép x₁ = x₂ = – 1 và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) = 2x² + 4x + 2 mang dấu dương khi x ≠ – 1.

b) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 2x + 21 có ∆ = 2² – 4.(-3).21 = 256 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = $- \frac{7}{3}$ và a = -3 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) = – 3x² + 2x + 21 dương khi x thuộc khoảng $(- \frac{7}{3}; 3)$ và f(x) = – 3x² + 2x + 21 âm khi x thuộc hai khoảng $(- \infty; - \frac{7}{3})$ và $(3; + \infty)$ .

c) Tam thức bậc hai f(x) = – 2x² + x – 2 có ∆ = 1² – 4.(-2).(-2) = 1 – 16 = -15 < 0. Do đó hàm số vô nghiệm và a = -2 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) = – 2x² + x – 2 âm với mọi giá trị thực của x.

d) Ta có f(x) = -4x(x + 3) – 9 = – 4x² – 12x – 9.

Xét tam thức f(x) = – 4x² – 12x – 9 có ∆ = (-12)² – 4.(-4)(-9) = 144 – 144 = 0. Do đó f(x) có nghiệm kép x₁ = x₂ = $- \frac{3}{2}$ và a = – 4 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) mang dấu âm khi x ≠ $- \frac{3}{2}$ .

e) Ta có f(x) = (2x + 5)(x – 3) = 2x² – 6x + 5x – 15 = 2x² – x – 15.

Tam thức f(x) = 2x² – x – 15 có ∆ = (-1)² – 4.2.(-15) = 1 + 120 = 121 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 3 và x₂ = $- \frac{5}{2}$ và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) = (2x + 5)(x – 3) âm khi x thuộc khoảng $(- \frac{5}{2}; 3)$ và f(x) = (2x + 5)(x – 3) dương khi x thuộc hai khoảng $(- \infty; - \frac{5}{2})$ và (3; +∞).

Bài 5 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số h(x) = – 0,1x² + x – 1. Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

Ta có h(x) = -0,1x² + x – 1 là tam thức bậc hai với a = -0,1, b = 1 và c = -1.

Tam thức bậc hai h(x) = -0,1x² + x – 1 có ∆ = 1² – 4.(-0,1).(-1) = 0,6 > 0. Do đó h(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 5 + $\sqrt{15}$ , x₂ = 5 – $\sqrt{15}$ và a = -0,1 < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra h(x) dương khi x thuộc khoảng $(5 - \sqrt{5}; 5 + \sqrt{5})$ và h(x) âm khi x thuộc hai khoảng $(- \infty; 5 - \sqrt{5})$ và $(5 + \sqrt{5}; + \infty)$ .

Dựa vào hình vẽ ta thấy trục Ox chính là vành rổ.

Ta có $5 - \sqrt{5} \approx 1,1$ và $5 + \sqrt{5} \approx 8,9$

Vậy với x thuộc khoảng (1,1; 8,9) thì bóng nằm cao hơn vành rổ và với x thuộc khoảng (– ∞;1,1) và (8,9 ; + ∞) thì bóng nằm thấp hơn vành rổ.

Bài 6 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20 cm và chiều rộng 15 cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước (20 + x) cm và (15 – x) cm. Với x nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Lời giải:

Diện tích khung dây thép hình chữ nhật ban đầu là: 20.15 = 300 (cm²).

Diện tích khung hình chữ nhật mới là: (20 + x)(15 – x) = 300 + 5x – x² (cm²).

Xét hiệu f(x) = 300 – 300 – 5x + x² = x² – 5x.

Ta có f(x) = x² – 35x là tam thức bậc hai có ∆ = (-35)² – 4.1.0 = 1 225 > 0. Do đó h(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = 0, x₂ = -5 và a = 1 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) âm khi x thuộc khoảng (-5; 0), f(x) dương khi x thuộc hai khoảng (-∞; -5) và (0; +∞).

Vậy với x thuộc khoảng (-5; 0) thì diện tích của khung dây thép tăng lên, x thuộc hai khoảng (-∞; -5) và (0; +∞) thì diện tích của khung dây thép giảm đi, và x = – 5 hoặc x = 0 thì diện tích khung dây thép không đổi.

Bài 7 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có 9m² + 2m > – 3.

Lời giải:

Ta có: 9m² + 2m > – 3

⇔ 9m² + 2m + 3 > 0

Đặt f(m) = 9m² + 2m + 3

Ta thấy f(m) là tam thức bậc hai với a = 9, b = 2 và c = 3.

Ta có: ∆ = 2² – 4.9.3 = 4 – 108 = -104 < 0. Do đó f(m) vô nghiệm và a = 9 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy f(m) > 0 với mọi m

⇒ 9m² + 2m + 3 > 0 với mọi m hay 9m² + 2m > – 3 với mọi m.

Vậy 9m² + 2m > – 3 với mọi m.

Bài 8 trang 10 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm giá trị của m để:

a) 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ;

b) mx² + 5x – 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Lời giải:

a) Xét f(x) = 2x² + 3x + m + 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 3, c = m + 1.

Ta có: ∆ = 3² – 4.2.(m + 1) = 9 – 8m – 8 = 1 – 8m.

Vì a = 2 > 0 nên để 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ thì ∆ < 0

⇔ 1 – 8m < 0

⇔ m > $\frac{1}{8}$ .

Vậy với m > $\frac{1}{8}$ thì 2x² + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) Xét g(x) = mx² + 5x – 3

+) Với m = 0 thì g(x) = 5x – 3

Ta có: 5x – 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{5}$ .

Do đó với m = 0 không thỏa mãn.

+) Với m ≠ 0 thì g(x) = mx² + 5x – 3 là tam thức bậc hai với a = m, b = 5, c = – 3.

Ta có ∆ = 5² – 4.m.(-3) = 25 + 12m.

Để mx² + 5x – 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ thì

$\{\begin{cases} a < 0 \\ Δ \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ 25 + 12 m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ m \leq - \frac{25}{12} \end{cases} \Leftrightarrow m \leq - \frac{25}{12}$ .