Vectơ chỉ phương là gì? Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng cực đơn giản, dễ hiểu

Cô Nguyễn Thanh Phương 07/06/2023

Mời các em theo dõi nội dung bài học về Vectơ chỉ phương và bài tập vận dụng do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tốt và hoàn thành tốt bài tập của mình.

Mục lục

Vectơ chỉ phương là gì?

– Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vectơ đó.

– Cho đường thẳng d. Ta có vecto được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d.

Bạn đang xem: Vectơ chỉ phương là gì? Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng cực đơn giản, dễ hiểu

– Nếu $\overrightarrow{u}$ là VTCP của d thì cũng là VTCP của d.

– VTCP và VTPT vuông góc với nhau $\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( a,b \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( -b,a \right)$ . Đây chính là cách chuyển từ VTCP sang VTPT và ngược lại.

– Ta có thể dễ dàng xác định được đường thẳng khi biết một điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng đó.

Hệ số góc của đường thẳng

– Phương trình đường thẳng d có dang: y = kx + b hay kx – y – b = 0

+ Hệ số góc của đường thẳng là k.

+ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là $\overrightarrow{n}=\left( k,-1 \right)$

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng là: $\overrightarrow{u}=\left( 1,k \right)$

Ví dụ: Cho phương trình đường thẳng 3x + 2y = 1. Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, hệ số góc của đường thẳng.

Hướng dẫn:

+ Vectơ chỉ pháp tuyến của đường thẳng là $\overrightarrow{n}=\left( 3,2 \right)$

+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng là: $\overrightarrow{u}=\left( -2,3 \right)$

+Ta viết lại phương trình đường thẳng $y=\frac{-3}{2}x-\frac{1}{2}$ . Hệ số góc của đường thẳng là $\frac{3}{2}$ .

Phương trình tham số của đường thẳng

– Đường thẳng d đi qua A(m, n) nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

$d:\left\{ \begin{matrix} x=m+at \\ y=n+bt \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số đi qua điểm A(1, 2) và vectơ chỉ phương .

Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x=1+t \\ y=2+t \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm A(2, -1) và điểm B(1,3)

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -1,4 \right)$

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng là

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left( -1,4 \right)$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng: $\left\{ \begin{matrix} x=1-t \\ y=3+4t \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận $\vec{u}$ = ( 2; 4) làm VTCP?

A. m = – 2

B. m = -8

C. m = 5

D. m = 10

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto $\vec{AB}$ ( 4; m – 2) làm VTCP.

Lại có vecto $\vec{u}$ (2; 4) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto $\vec{u}$ và $\vec{AB}$ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: $\vec{u}$ = k $\vec{AB}$

⇒ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = k.4} \\ {4 = k\left( {m - 2} \right)} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {k = \dfrac{1}{2}} \\ {m = 10} \end{array}} \right.} \right.$

Vậy m = 10 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A. $\vec{u_1}$ = (1; 0)

B. $\vec{u_2}$ = (0; -1)

C. $\vec{u_3}$ = (1; 1)

D. $\vec{u_4}$ = (1; – 1)

Hướng dẫn giải

Trục Ox có phương trình là y = 0; đường thẳng này có VTPT $\vec{n}$ = ( 0;1)

⇒ đường thẳng này nhận vecto $\vec{u}$ ( 1; 0) làm VTCP.

⇒ Một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là $\vec{u_1}$ =(1; 0).

Ví dụ 5: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B( 1; 4)?

A. $\vec{u_1}$ = (-1; 2)

B. $\vec{u_2}$ = (2; 1)

C. $\vec{u_3}$ = (- 2; 6)

D. $\vec{u_4}$ = (1; 1)

Hướng dẫn giải

– Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto $\vec{AB}$ = ( 4; 2) làm vecto chỉ phương .

+ Lại có vecto $\vec{AB}$ và $\vec{u}$ = ( 2;1) là hai vecto cùng phương nên đường thẳng AB nhận vecto $\vec{u}$ = ( 2;1) là VTCP.

Ví dụ 6: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x – 5y – 100 = 0 là:

A. $\vec{u}$ = (2; -5)

B. $\vec{u}$ = (2; 5)

C. $\vec{u}$ = (5; 2)

D. $\vec{u}$ =( -5; 2)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có VTPT là $\vec{n}$ ( 2 ;- 5) .

⇒ Đường thẳng có VTCP là $\vec{u}$ ( 5 ; 2).

Ứng dụng trong mặt phẳng tọa độ

Những bài toán ứng dụng tính chất của vectơ chỉ phương thường gặp nhất:

+ Xác định vectơ chỉ phương cho trước.

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và VTCP cho trước.

+ Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng.

+ Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

+ Biện luận, chứng minh phương trình đường thẳng.

Các tính chất của vecto chỉ phương sẽ xuất hiện xuyên suốt trong các bài tập tổng hợp về phương trình đường thẳng, học sinh cần nắm vững nội dung định nghĩa, tính chất của vectơ pháp tuyến.

Bài tập vận dụng vecto chỉ phương

Bài 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là:

A. u₁→ = (2; -3)

B. u₂→ = (3; -1)

C. u₃→ = (3; 1)

D. u₄→ = (3; -3)

Lời giải

Một VTCP của đường thẳng d là u→( 3; -1)

Chọn B

Bài 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B( 1; 4) ?

A. u₁→ = (-1; 2)

B. u₂→ = (2; 1)

C. u₃→ = (- 2; 6)

D. u₄→ = (1; 1)

Lời giải

+ Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto AB→( 4; 2) làm vecto chỉ phương .

+ Lại có vecto AB→ và u→( 2;1) là hai vecto cùng phương nên đường thẳng AB nhận vecto u→( 2;1) là VTCP.

Chọn B.

Bài 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng = 1 là:

A. u₄→ = (-2; 3) B. u₂→ = (3; -2) C. u₃→ = (3; 2) D. u₁→ = (2; 3)

Hướng dẫn giải:

Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát:

= 1 ⇔ 2x + 3y – 6 = 0 nên đường thẳng có VTPT là n→ = (2; 3)

Suy ra VTCP là u→ = (3; – 2) .

Chọn B.

Bài 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x – 5y – 100 = 0 là :

A. u→ = (2; -5) B. u→ = (2; 5) C. u→ = (5; 2) D. u→=( -5; 2)

Lời giải

Đường thẳng d có VTPT là n→( 2 ;- 5) .

⇒ đường thẳng có VTCP là u→( 5 ; 2).

Chọn C.

Bài 5: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2 ; 3) và B( 4 ;1)

A. n→ = (2; -2)

B. n→ = (2; -1)

C. n→ = (1; 1)

D. n→ = (1; -2)

Lời giải

Đường thẳng AB nhận vecto AB→( 2; -2) làm VTCP nên đường thẳng d nhận vecto

n→( 1; 1) làm VTPT.

Chọn C.

Bài 6. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A. u₁→ = (1; 0).

B. u₂→ = (0; -1)

C. u₃→ = (1; 1)

D. u₄→ = (1; – 1)

Lời giải

Trục Ox có phương trình là y= 0; đường thẳng này có VTPT n→( 0;1)

⇒ đường thẳng này nhận vecto u→( 1; 0) làm VTCP.

⇒ một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là u₁→=(1; 0).

Chọn A.

Bài 7: Cho đường thẳng d đi qua A( 1; 2) và điểm B(2; m) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 1; 3) làm VTCP?

A. m = – 2

B. m = -1

C. m = 5

D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 1; m – 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→( 1; 2) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

⇒

Vậy m= 5 là giá trị cần tìm .

Chọn C.

Bài 8: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 2; 4) làm VTCP?

A. m = – 2

B. m = -8

C. m = 5

D. m = 10

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 4; m – 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→(2; 4) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và ab→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = 10 là giá trị cần tìm .

Chọn D.

Bài 9. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A( a; 0) và B( 0; b)

A. u→( -a; b)

B. u→( a; b)

C. u→( a + b; 0)

D. u→( – a; – b)

Lời giải

Đường thẳng AB đi qua điểm A và B nên đường thẳng này nhận AB→(-a;b) làm vecto chỉ phương.

Chọn A.

Bài 10. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là u→ = (-2; -5) . Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u₁→ = (5; -2)

B. u₂→ = (-5; 2)

C. u₃→ = (2; 5)

D. u₄→ = (2; -5)

Lời giải

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

Lại có hai vecto u_∆→( -2; -5) và u→( 2;5) cùng phương nên đường thẳng ∆ nhận vecto u→( 2; 5) làm VTCP.

Chọn C.

Bài 11. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ song song với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (4; 3)

B. n₂→ = (- 4; 3)

C. n₃→ = (3; 4)

D. n₄→ = (3; – 4)

Lời giải

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

→ u_∆→ = u_d→ = (3; -4) → n_∆→ = (4; 3)

Chọn A

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?

A. u₁→ = (1; 0). B. u₂→ = (0; 1) C. u₃→ = (1; 1) D. u₄→ = (1; -1)

Lời giải:

Đáp án: B

Trục Oy có phương trình tổng quát là : x= 0. Đường thẳng này nhận vecto n→(1;0) làm VTPT.

⇒ Đường thẳng x= 0 nhận vecto u→( 0; 1) làm VTCP.

⇒ Một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là j→(0;1)

Câu 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2) và B( -3;6)

A. u→( 1; 1) B. u→( 1; -1) C. u→( 2; -3) D. u→(- 1; 2)

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên nhận vecto AB→( -4; 4) VTCP .

Lại có hai vecto AB→( -4;4) và u→( 1; -1) là hai vecto cùng phương .

⇒ đường thẳng AB nhận vecto u→( 1; -1) làm VTCP.

Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O( 0; 0) và điểm M( a; b)

A. u→( 0; a + b)

B. u→( a; b)

C. u→( a; – b)

D. u→( -a; b)

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng OM đi qua điểm M và O nên đường thẳng này nhận OM→( a;b) làm vecto chỉ phương.

Câu 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -8) và B(3; -6)

A. n₁→ = (2; 2).

B. n₂→ = (0; 0)

C. n₃→ = (8; -8)

D. n₄→ = (2; 3)

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vectơ AB( 2;2) làm VTCP.

Lại có: AB→( 2;2) và n→( 8; -8) vuông góc với nhau( vì tích vô hướng của hai vecto đó bằng 0)

⇒ đường thẳng AB nhận vecto n→( 8; -8) là VTPT.

Câu 5: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; -1). Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của d?

A. n→( -1; 2)

B. n→(1; -2)

C. n→(-3; 6)

D. n→( 3;6)

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng d có VTCP là u→( 2;-1) nên đường thẳng này có VTPT là n→( 1;2) .

Lại có vecto n’→(3;6) cùng phương với vecto n→ nên đường thẳng đã cho nhận vecto

n’→(3;6) làm VTPT.

Câu 6: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (4; -2) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d?

A. u₁→ = (2; -4)

B. u₂→ = (-2; 4)

C. u₃→ = (1; 2)

D. u₄→ = (2; 1)

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d có VTPT n→( 4; -2) nên có VTCP u→(2;4) .

Mà u→( 2;4) và v→( 1;2) cùng phương nên đường thẳng đã cho nhận v→( 1;2) làm VTCP.

Câu 7: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (4; 3) B. n₂→ = (-4; -3) C. n₃→ = (3; 4) D. n₄→ = (3; – 4)

Lời giải:

Đáp án: D

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

→ n_∆→ = u_d→ = (3; -4)

Câu 8: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (-2; -5) . Đường thẳng song song với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u₁→ = (5; -2)

B. u₂→ = (-5; -2)

C. u₃→ = (2; 5)

D. u₄→ = (2; -5)

Lời giải:

Đáp án: A

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

→ n_∆→ = u_d→ = (-2; -5) → u_∆→ = (5; -2)

Câu 9: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?

A. u₁→ = (6; 0) .

B. u₂→ = (-6; 0).

C. u₃→ = (2; 6).

D. u₄→ = (0; 1).

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng d: nên VTCP u→ = (0; 6) = 6(0; 1)

Ta chọn u→ = (0 ; 1)

Câu 10: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d:

A. n₁→ = (2; -1) .

B. n₂→ = (-1; 2) .

C. n₃→ = (1; -2) .

D. n₄→ = (1; 2) .

Lời giải:

Đáp án: D

d: → u_d→ = (2; -1) → n_d→ = (1; 2)

Câu 11: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d: 2x – 3y + 2018 = 0

A. u₁→ = (-3; -2) .

B. u₂→ = (2; 3) .

C. u₃→ = (-3; 2) .

D. u₄→ = (2; -3) .

Lời giải:

Đáp án: A

Đường thẳng d: 2x – 3y + 2018 = 0 có VTPT n_d→ = (2; -3)nên u_d→ = (3; 2) là một VTCP của d.

⇒ Vecto ( – 3; -2) cũng là VTCP của đường thẳng d.

Câu 12: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A( -3; 2); B(-3; 3) có một vectơ pháp tuyến là:

A. n₁→ = (6; 5).

B. n₂→ = (0; 1) .

C. n₃→ = (-3; 5) .

D. n₄→ = (-1; 0) .

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi d là trung trực đoạn AB.

Suy ra đường thẳng d vuông góc với AB.

⇒ AB→( 0;1) là một VTPT của đường thẳng d.

Câu 13: Cho đường thẳng d đi qua A(-1; 2) và điểm B(m; 3) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( -2; 1) làm VTCP?

A. m = – 2

B. m = -1

C. m = – 3

D. m = 2

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( m + 1; 1) làm VTCP.

Lại có vecto u→( -2; 1) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = – 3 là giá trị cần tìm .

***

Trên đây là nội dung bài học Vectơ chỉ phương và bài tập vận dụng do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn và tổng hợp. Hy vọng sẽ giúp các em hiểu rõ nội dung bài học và từ đó hoàn thành tốt bài tập của mình. Đồng thời luôn đạt điểm cao trong các bài thi bài kiểm tra sắp tới. Chúc các em học tập thật tốt.

Đăng bởi THCS Bình Chánh trong chuyên mục Học tập