Toán 10 Bài 3 Cánh diều: Tổ hợp| Giải Toán lớp 10

Mời các em theo dõi nội dung bài học do thầy cô trường Trung học Bình Chánh biên soạn sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức nội dung bài học tốt hơn.

Giải bài tập Toán 10 Bài 3: Tổ hợp 

A. Các câu hỏi trong bài

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 3 Cánh diều: Tổ hợp| Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 15 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 15 Toán 10 Tập 2: Trong một giải bóng bàn đôi nam, mỗi đội 8 người chọn 2 vận động viên để tạo thành một cặp đấu.

Trong toán học, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là gì?

Lời giải

Sau bài học này, ta sẽ biết được, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là một tổ hợp chập 2 của 8 phần tử.

Hoạt động 1 trang 15 Toán 10 Tập 2: Đội tuyển bóng bàn nam của trường có 4 bạn Mạnh, Phong, Cường, Tiến. Huấn luyện viên muốn chọn 2 bạn để tạo thành một cặp đấu đôi nam.

a) Nêu 3 cách chọn cặp đấu.

b) Mỗi cặp đấu là một tập con gồm bao nhiêu phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên?

Lời giải

a) Ta có thể chọn cặp đấu như sau:

Cách 1: Chọn 2 bạn Mạnh, Phong.

Cách 2: Chọn 2 bạn Phong, Cường.

Cách 3: Chọn 2 bạn Cường, Tiến.

Ngoài 3 cách chọn cặp đấu như trên, ta còn nhiều cách chọn khác, miễn là chọn ra 2 bạn bất kì trong 4 bạn của đội.

b) Mỗi cặp đấu gồm 2 bạn trong 4 bạn của đội tuyển, vậy nên mỗi cặp đấu là một tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên.

Luyện tập 1 trang 15 Toán 10 Tập 2: Viết tất cả tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c.

Lời giải

Mỗi tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là một tập con gồm 2 phần tử của tập A = {a; b; c}.

Vậy các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là các tập: {a; b}, {a; c}, {b; c}.

Hoạt động 2 trang 15 Toán 10 Tập 2: Cho tập hợp A = {a; b; c; d; e}.

a) Nêu cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.

b) Nêu cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.

c) So sánh cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A với cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A.

Lời giải

a) Cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là trích ra một tập con gồm 3 phần tử lấy ra từ 5 phần tử trong A.

b) Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử từ 5 phần tử trong A và xếp thứ tự 3 phần tử đó.

c) Việc lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và xếp thứ tự, còn cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là lấy ra 3 phần tử trong 5 phần tử và không xếp thứ tự.

Mỗi tổ hợp chập 3 của 5 phần tử sinh ra 3! chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử vì có 3! hoán vị của 3 phần tử. Vì thế, số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nhiều gấp 3! lần số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.   

Giải Toán 10 trang 17 Tập 2

Luyện tập 2 trang 17 Toán 10 Tập 2: Trong một buổi tập huấn cho các bí thư chi đoàn có 10 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi?

Lời giải

Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn nam để tham gia trò chơi là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.

Vậy số cách chọn 3 bạn nam để tham gia một trò chơi là $C_{10}^3$ = 120 (cách).

Hoạt động 3 trang 17 Toán 10 Tập 2: Ta có thể tính số các tổ hợp bằng máy tính cầm tay như sau: Nút tổ hợp: $\boxed{nCr}$.

Lời giải

Ta bấm máy tính cầm tay theo hướng dẫn ở trên.

Luyện tập 3 trang 17 Toán 10 Tập 2: Dùng máy tính cầm tay để tính:

a) $C_{25}^{13}$;

b) $C_{30}^{15}$.

Lời giải

a) Để tính $C_{25}^{13}$, ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím sau:

$\boxed{25}\boxed{SHIFT}\boxed{nCr}\boxed{13}\boxed{=}$

Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 5 200 300.

Vậy $C_{25}^{13}=5200300$.

b) Để tính $C_{30}^{15}$, ta mở máy tính cầm tay và thực hiện ấn các phím sau:

$\boxed{30}\boxed{SHIFT}\boxed{nCr}\boxed{15}\boxed{=}$

Khi đó trên màn hình máy tính hiện kết quả: 155 117 520.

Vậy $C_{30}^{15}=155117520$.

Hoạt động 4 trang 17 Toán 10 Tập 2: So sánh:

a) $C_6^2$ và $C_6^4$;

b) $C_4^2+C_4^3$ và $C_5^3$.

Lời giải

a) Ta có: $C_6^2=\frac{6!}{2!\left(6-2\right)!}=\frac{6!}{2!.4!}=15$;

Và $C_6^4=\frac{6!}{4!\left(6-4\right)!}=\frac{6!}{4!.2!}=15$.

Vậy $C_6^2=C_6^4$.

b) Ta có: $C_4^2+C_4^3=\frac{4!}{2!\left(4-2\right)!}+\frac{4!}{3!\left(4-3\right)!}$$=\frac{4!}{2!.2!}+\frac{4!}{3!.1!}$ = 6 + 4 = 10;

$C_5^3=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)!}=\frac{5!}{3!.2!}$$=\frac{\mathrm{5.4.3.2.1}}{\mathrm{3.2.1.2.1}}=10$.

Vậy $C_4^2+C_4^3$ = $C_5^3$.

B. Bài tập

Bài 1 trang 17 Toán 10 Tập 2: Cho 8 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm đã cho?

Lời giải

Vì trong 8 điểm đã cho, không có 3 điểm nào thẳng hành nên ta chọn 3 điểm trong 8 điểm đã cho ta được 3 đỉnh của 1 tam giác.

Mỗi cách chọn 3 điểm trong 8 điểm là một tổ hợp chập 3 của 8 điểm nên ta có $C_8^3=56$ tam giác.

Vậy có 56 tam giác thỏa mãn.

Bài 2 trang 17 Toán 10 Tập 2: Có 10 đội tham gia một giải bóng đá. Có bao nhiêu cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần? 

Lời giải

Để 2 đội chỉ gặp nhau đúng một lần, ta chọn 2 đội bất kì trong 10 đội để xếp đấu với nhau.

Mỗi cách chọn 2 đội để đấu với nhau trong 10 đội tham gia giải bóng đá là một tổ hợp chập 2 của 10, vậy có $C_{10}^2=45$ cách xếp trận đấu vòng tính điểm sao cho hai đội chỉ gặp nhau đúng một lần.

Bài 3 trang 17 Toán 10 Tập 2: Khối 10 có 16 bạn nữ và 18 bạn nam tham gia đợt tình nguyện Mùa hè xanh. Đoàn trường dự định lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ. Có bao nhiêu cách lập một tổ trồng cây như vậy?

Lời giải

Lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ, có 2 trường hợp xảy ra, một là 3 học sinh được chọn gồm 1 nam và 2 nữ, hai là 3 học sinh được chọn gồm 2 nam và một nữ.

– Trường hợp 1, chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ:

+ Chọn 1 nam trong 18 bạn nam có 18 cách chọn.

+ Chọn 2 nữ trong 16 bạn nữ, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 2 của 16, do đó có $C_{16}^2=120$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, có 18 . 120 = 2 160 cách chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ.

– Trường hợp 2, chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ:

+ Chọn 2 nam trong 18 bạn nam, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 2 của 18, do đó có $C_{18}^2=153$ cách chọn.

+ Chọn 1 nữ trong 16 bạn nữ có 16 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, có 153 . 16 = 2 448 cách chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ.

Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 2 160 + 2 448 = 4 608 cách lập một tổ trồng cây gồm 3 học sinh có cả nam và nữ.

Bài 4 trang 17 Toán 10 Tập 2: Một quán nhỏ bày bán hoa có 50 bông hồng và 60 bông cúc. Bác Ngọc muốn mua 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa trên. Bác Ngọc có bao nhiêu cách chọn hoa?

Lời giải

Tổng số bông hoa gồm 2 loại hồng và cúc của quán là: 50 + 60 = 110 (bông).

Giả sử A là tập hợp gồm các phần tử là 5 bông hoa bất kì trong 110 bông hoa ở trên, B là tập hợp gồm các phần tử là 5 bông hoa hồng trong 50 bông hoa hồng và C là tập hợp các phần tử gồm 5 bông hoa cúc trong 60 bông hoa cúc.

Ta có, B và C là tập con của tập A. Tập B ∪ C là tập hợp tất cả các cách chọn 5 bông hoa gồm toàn hoa hồng hoặc toàn hoa cúc. Vậy số cách chọn 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa hồng và hoa cúc chính là số phần tử của tập C_A(B ∪ C) chính là phần bù của B ∪ C trong A.

Ta có: n(C_A(B ∪ C)) = n(A) – n(B ∪ C) = n(A) – [n(B) + n(C) = n(A) – n(B) – n(C) (do B và C rời nhau).

Số cách chọn 5 bông hoa bất kì trong 110 bông hoa là $C_{110}^5$ (cách chọn) hay n(A) = $C_{110}^5$.

Số cách chọn 5 bông hoa hồng trong 50 bông hồng là $C_{50}^5$ (cách chọn) hay n(B) = $C_{50}^5$.

Số cách chọn 5 bông hoa cúc trong 60 bông cúc là $C_{60}^5$ (cách chọn) hay n(C) = $C_{60}^5$.

Vậy có $C_{110}^5-C_{50}^5-C_{60}^5$ = 114 811 250 cách chọn 5 bông hoa gồm cả hai loại hoa.

Bài 5 trang 17 Toán 10 Tập 2: Tính tổng $C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}$.

Lời giải

Cách 1: Ta có: $C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}$

$=C_{16-1}^{13-1}+C_{16-1}^{13}+C_{16}^{14}$ $=C_{16}^{13}+C_{16}^{14}$

$=\frac{16!}{13!\left(16-13\right)!}+\frac{16!}{14!\left(16-14\right)!}$

$=\frac{\mathrm{16.15.14}}{\mathrm{3.2.1}}+\frac{16.15}{2.1}$

$=\mathrm{8.5.14}+8.15=560+120=680$.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

$C_{15}^{12}+C_{15}^{13}+C_{16}^{14}$ = 455 + 105 + 120 = 680.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 4: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng. Sai số

Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Bài 3: Các số liệu đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Đăng bởi: THCS Bình Chánh

Chuyên mục: Toán 10 Cánh Diều

• Giải Bài 4.16 trang 65 Toán 10 tập 1 SGK Kết nối tri thức với cuộc sống
• Giải Bài 1 trang 37 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo
• Giải Vận dụng trang 30 Toán 10 tập 1 SGK Kết nối tri thức với cuộc sống
• Triều cường là gì? Triều cường xảy ra khi nào?
• Thơ Đường luật là gì? Đặc điểm của thơ Đường luật
• Phân tích nhân vật he ra clet hay nhất (5 mẫu)