Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và bài tập vận dụng

Cô Nguyễn Thanh Phương 25/05/2023

Mời các em theo dõi nội dung bài học về Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và bài tập vận dụng do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tốt và hoàn thành tốt bài tập của mình.

Mục lục

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là gì?

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

Ký hiệu:

Bạn đang xem: Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và bài tập vận dụng

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Được minh họa bằng hình vẽ như sau:

Ký hiệu: d (a,b) = d (a,(Q)) = d (b,(P)) = d ((P),(Q)). Trong đó, (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và (P) // (Q).

Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

Để có thể tính được khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chúng ta có thể sử dụng một trong các cách dưới đây:

Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó d (a,b) = MN.

Tuy nhiên, khi dựng đoạn vuông góc chung MN, chúng ta có thể sẽ gặp phải các trường hợp sau:

Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo vừa vuông góc với nhau

Khi gặp trường hợp này, chúng ta sẽ làm như sau:

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I
Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ đường thẳng IJ vuông góc với ∆’

Khi đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = IJ.

Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Bước 1: Bạn chọn một mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆
Bước 2: Bạn dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm M thuộc ∆ dựng đoạn MN vuông góc với (α) . Khi đó, d sẽ là đường thẳng đi qua N và song song với ∆
Bước 3: Bạn gọi H là giao điểm của đường thẳng d với ∆’, dựng HK // MN

Khi đó, HK chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HK = MN.

Hoặc bạn làm như sau:

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) vuông góc với ∆ tại I
Bước 2: Bạn tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α)
Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ vuông góc với d, từ J bạn dựng đường thẳng song song với ∆ và cắt ∆’ tại H, từ H dựng HM // IJ

Khi đó, HM chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HM = IJ.

Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó, d (∆, ∆’) = d (∆’, (α)).

Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đó chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng cần tìm.

Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

*MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi:

*Nếu trong mặt phẳng (α) có hai véc tơ không cùng phương thì:

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

+ Xét tam giác ACD đều có NA là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên NA = (a√3)/2.

Tương tự: NB = (a√3)/2.

⇒ NA = NB nên tam giác ANB cân tại N

suy ra đường trung tuyến NM đồng thời là đường cao: NM ⊥ AB

+ Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC, nên d(AB; CD) = MN.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ∠BAD = 60° và SO = 3a/4. Biết SA = SC và SB = SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

+ Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC

Vì SB = SD nên tam giác SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD.

+ Ta có:

Trong mp(SAC) , kẻ OH ⊥ SA (H ∈ SA). Ta chứng minh OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD

Ta có: OH ⊥ SA (cách dựng) và OH ⊥BD ( vì BD⊥( SAC)

⇒ OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Do đó: d(SA; DB) = OH.

Ta có: Tam giác ABD cân tại A có góc A bằng 60° nên tam giác ABD đều cạnh a.

+ Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có:

Chọn B

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5; BC = a√2. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC

Hướng dẫn giải

Ta tìm đoạn vuông góc chung của SD và BC:

Lại có; DC ⊥ BC nên DC là đoạn vuông góc chung của SD và BC

⇒ d(SD; BC) = DC.

Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông ABC có

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh CD và AB.

Ta chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

+ Do ABCD là tứ diện đều nên ΔACD = ΔBCD

⇒ AM = BM

⇒ Tam giác MAB cân tại M có MN là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ MN ⊥ AB

+ Chứng minh tương tự ta có: MN ⊥ CD

⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

⇒ d( AB; CD) = MN

+ Ta có: NB = AB/2 = a/2.

Tam giác BCD đều cạnh a nên BM = BC.sin60° = (a√3)/2

Chọn đáp án B

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a và AC = 2a. Tính khoảng cách giữa AC’ và CD’

Hướng dẫn giải

Ta có hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng (DCC’D’) là DC’ ⊥ D’C nên AC’ ⊥ D’C

⇒ D’C ⊥ (ADC’B’) tại điểm H là trung điểm CD’.

Từ H ta kẻ HK ⊥ AC’

⇒ d(AC’; D’C) = HK (khi đó HK là đoạn vuông góc chung của AC’ và D’C)

Ta tính khoảng cách d từ điểm D đến đường thẳng AC’

+ Áp dụng định li Pytago với tam giác vuông ABC ta có

+ Áp dụng định lí pytago với tam giác vuông DCC’ ta có:

+ Xét tam giác ADC’ có:

Chọn đáp án D

Bài 6: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x – 8y – 101 = 0 và d: 3x – 4y = 0 là:

A. 10, 1

B. 1,01

C. 12

D. √101 .

Hướng dẫn giải

+ Ta có:

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // ∆.

+ Lấy điểm O( 0;0) thuộc đường thẳng d.

+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

d(∆; d) = d ( O; ∆) = = 10,1

Chọn A.

Bài 7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y – 3 = 0 và ∆: .

B. 15

C. 9

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆:

⇒ Phương trình ∆: 7( x + 2) + 1( y – 2) = 0 hay 7x + y + 12 = 0

Ta có: nên d // ∆

⇒ d(d;Δ) = d(A;d) =

Chọn A.

Bài 8. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x – 4y + 8 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0.

B. 3x – 4y – 8 = 0 hoặc 3x – 4y + 12 = 0.

C. 3x – 4y – 8 = 0 hoặc 3x – 4y – 12 = 0.

D. 3x – 4y + 8 = 0 hoặc 3x – 4y – 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d(M(x; y); Δ) = 2 ⇔ = 2

|3x – 4y + 2| = 10 ⇒

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :

3x – 4y + 12 = 0 và 3x – 4y – 8 = 0

Chọn B.

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 5x + 3y – 3 = 0 và d₂: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d₁; d₂ là:

A. 5x + 3y – 2 = 0

B. 5x + 3y + 4 = 0

C. 5x + 3y + 2 = 0

D. 5x + 3y – 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M ( x; y) thuộc đường thẳng d. Suy ra:

d(M(x; y); d₁)=d(M(x; y); d₂) ⇔

⇔

Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d₁ và d₂.

Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0

Chọn C.

Bài 10: Cho đường thẳng d: và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1

B. 0.

C. 2

D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d:

⇒ Phương trình d: 3(x – 2) – 2(y + 1) = 0 hay 3x – 2y – 8 = 0

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 3(x – 0) – 2(y + 4) = 0 hay 3x – 2y – 8 = 0

⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.

Chọn B.

Bài 11: Cho hai đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và đường thẳng ∆: . Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y – 1 = 0

B. x + y + 1= 0

C. x + y – 3 = 0

D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d’// d nên đường thẳng d có dạng (d’) : x + y + c = 0( c ≠ -2)

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1(x + 2) + 1(y – 3) = 0 hay x + y – 1 = 0.

+ Lấy điểm M ( 1; 0) thuộc ∆.

Để khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi:

d( d’; ∆) = d( M; d’) = 2

⇔ = √2 ⇔ |1 + c| = 2

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y – 3 = 0

Chọn D.

Bài 12: Cho tam giác ABC có B( 1; -2) và C( 0; 1). Điểm A thuộc đường thẳng
d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1

B. 3

C. 0,5

D. 2

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 3(x – 1) + 1(y + 2) = 0 hay 3x + y – 1 = 0 .

+ ta có; BC = = √10

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm O(0; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(O;BC) = = ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) = .

+ Diện tích tam giác ABC là S = d( A,BC).BC = . .√10 = 0, 5

Chọn C.

Bài 13: Cho hai đường thẳng d: x + y – 4 = 0 và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

A. 1

B. 2

C. √2

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

+Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: 1( x – 1) + 1( y – 1) = 0 hay x + y – 2 = 0.

+ Ta có: nên hai đường thẳng d//∆.

+ Lấy điểm A( 1; 1) thuộc ∆. Do d // ∆ nên :

d(d; ∆) = d(A; d) = = √2

Bài 14: Cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 . Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng √5 là

A. x – 2y – 3 = 0; x – 2y + 7 = 0

B. x – 2y + 3 = 0 và x – 2y + 7 = 0

C. x – 2y – 3 = 0; x – 2y – 7 = 0

D. x – 2y + 3 = 0; x – 2y – 7 = 0 .

Lời giải:

Đáp án: A

+ Gọi ∆ là đường thẳng song song với d: x – 2y + 2 = 0

⇒ Đường thẳng ∆ có dạng: x – 2y + c = 0 ( c ≠ 2 ) .

+ Lấy một điểm A( -2 ; 0) thuộc d.

⇒ d( d ; ∆) = d( A ; ∆) = √5

⇔ = √5 ⇔ |c – 2| = 5 nên

+ Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là x – 2y + 7 = 0 hoặc x – 2y – 3 = 0.

Bài 15: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d₁ và d₂ cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y – 7 = 0; 3x – 4y + 3 = 0

B. 3x – 4y + 7 = 0; 3x – 4y – 3 = 0

C. 3x + 4y + 4 = 0; 3x + 4y + 3 = 0

D. 3x + 4y – 4 = 0; 3x + 4y + 6 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

+ Do đường thẳng song song với d nên ∆ có dạng là : ∆ : 3x + 4y + c = 0 ( c ≠ 1) .

Lấy điểm M(-3 ; 2) thuộc d

Do d(d ; ∆) = d( M ; ∆) =1 ⇔ = 1

⇔ |c – 1| = 5 ⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x + 4y + 6 = 0 hoặc 3x + 4y – 4 = 0

Bài 16: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (a): 7x + y – 3 = 0 và (b): 7x + y + 12 = 0 là

B. 9.

D. 15.

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có : nên a // b

Lây điểm M (0 ; 3) thuộc( a) .

Do a // b nên d(M ; b) = d( a ; b) =

Bài 17: Cho đường thẳng d: 3x – 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y – 1 = 0 ; 3x + 4y + 5 = 0

B. 3x – 4y + 7 = 0 ; 3x – 4y – 3 = 0

C. 3x + 4y – 3 = 0 ; 3x + 4y + 7 = 0

D. 3x – 4y + 6 = 0; 3x – 4y – 4 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Giả sử đường thẳng ∆ song song với d : 3x – 4y + 2 = 0

Khi đó ; ∆ có phương trình là ∆ : 3x – 4y + C = 0.

Lấy điểm M( -2 ; -1) thuộc d.

Do d(d; ∆) = 1 ⇔ = 1 ⇔ |C – 2| = 5 ⇔

Do đó hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x – 4y + 7 = 0 và 3x – 4y – 3 = 0.

Bài 18: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x – 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13

A. 2x – 3y + 23 = 0

B. 2x – 3y – 3 = 0.

C. 2x – 3y – 8 = 0 và 2x – 3y = 0

D. Cả A và B đúng

Lời giải:

Đáp án: D

+ Ta có đường thẳng d’// d nên đường thẳng d’ có dạng : 2x – 3y + c = 0 ( c ≠ 6)

+ Xét vị trí của hai đường thẳng d và ∆:

⇒ Hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau .

Mà d // d’ nên d’ // ∆.

+ Lấy điểm A( -5; 0) thuộc ∆.

+ Do d’ // ∆ nên d( d’; ∆) = d( A; d’) = √13

⇔ = √13 ⇔

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x – 3y + 23 = 0 và 2x – 3y – 3 = 0.

Bài 19: Cho tam giác ABC có B( – 2; 1) và C( 2; 0). Điểm A thuộc đường thẳng d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1

B. 3

C. 0,5

D. 2

Lời giải:

Đáp án: A

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 1( x + 2) + 4( y – 1) = 0 hay x + 4y – 2 = 0 .

+ ta có; BC = = √17

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm H( 10; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(H;BC) = = ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) =

+ Diện tích tam giác ABC là S = d( A,BC).BC = . .√17= 1

***

Trên đây là nội dung bài học Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và bài tập vận dụng do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn và tổng hợp. Hy vọng sẽ giúp các em hiểu rõ nội dung bài học và từ đó hoàn thành tốt bài tập của mình. Đồng thời luôn đạt điểm cao trong các bài thi bài kiểm tra sắp tới. Chúc các em học tập thật tốt.

Đăng bởi THCS Bình Chánh trong chuyên mục Học tập