Mời bạn đọc cùng tìm hiểu Công thức tính tổ hợp và bài tập vận dụng trong bài viết dưới đây để có câu trả lời nhé.
Mục lục
Công thức tính tổ hợp
Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Mỗi tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
Công thức tổ hợp chập k của n
Bạn đang xem: Công thức tính tổ hợp và bài tập vận dụng
Công thức tính chất của tổ hợp:
Ví dụ về tính tổ hợp:
Một tổ gồm 12 học sinh. Có bao nhiêu cách:
a) Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm
b) Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó
c) Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm.
Lời giải
a) Chọn 2 bạn từ 12 bạn là tổ hợp chập 2 của 12: C122 = 66 cách.
b) Chọn 2 bạn rồi phân công chức vị là chỉnh hợp chập 2 của 12: A122 = 132 cách.
c) Chia tổ thành 2 nhóm tức mỗi nhóm có 6 bạn
Trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm
Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ trưởng trong 10 bạn còn lại: C105 = 252 cách.
Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ phó trong 5 bạn còn lại: C55 = 1 cách.
Vậy có 252.1 = 252 cách.
Công thức chỉnh hợp
Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên k, (1 ≤ k ≤ n). Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là:
Công thức chỉnh hợp:
- Một số quy ước: 0! = 1, An0 = 1, Ann = n!
- Đặc điểm: Đây là sắp xếp có thứ tự và số phần tử được sắp xếp là k: 0 ≤ k ≤ n.
Ví dụ:
Từ các chữ số từ 0 đến 9. Có bao nhiêu cách lập một số tự nhiên sao cho:
a) Số có 6 chữ số khác nhau
b) Số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 10
c) Số lẻ có 6 chữ số khác nhau.
Lời giải
a) Lập số có 6 chữ số khác nhau
Chọn chữ số đầu tiên từ các số từ 1 đến 9: có 9 cách chọn
Các chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 5 của 9 số còn lại (khác chữ số đầu tiên) có A95
Vậy có 9A95 = 136080 số.
b) Số có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 10
Chọn chữ số hàng đơn vị: có 1 cách chọn là chữ số 0
Chọn các chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 5 của 9 số còn lại (khác chữ số 0) có A95
Vậy có A95 = 15120 số.
c) Gọi số 
là số lẻ có 6 chữ số khác nhau được lập từ chữ số 0 đến 9
Vì là số lẻ nên f ∈{1; 3; 5; 7; 9}
Chọn f: có 5 cách chọn
Chọn a từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\{f}: có 8 cách chọn
Chọn b, c, d, e là chỉnh hợp chập 4 của 8 chữ số còn lại (khác f và a): có A84
Vậy có 5.8A84 = 67200 số.
Hoán vị
a) Định nghĩa:
– Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.
– Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
b) Số các hoán vị:
– Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử.
Công thức hoán vị:
Pn = n(n – 1)…2.1 = n!
Quy ước: 0! = 1; 1! = 1.
Ví dụ:
Xếp 10 bạn, trong đó có 5 bạn nam và 5 bạn nữ, vào một ghế dài. Có bao nhiêu cách xếp sao cho:
a) Xếp bất kì
b) Các bạn nam ngồi cạnh nhau
c) Các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ với nhau.
Lời giải
a) Số cách xếp 10 bạn vào một ghế dài là một hoán vị của 10: 10!
b) Xếp các bạn nam ngồi cạnh nhau. Ta ghép 5 bạn nam vào 1 “bó”: có 5! cách xếp bên trong “bó”
Rồi xếp 5 bạn nữ cùng 1 “bó” vào ghế dài có: 6! cách xếp.
Vậy có 5! . 6! = 86400 cách xếp sao cho các bạn nam ngồi cạnh nhau.
c) Giả sử xếp 10 bạn vào ghế dài có đánh số thứ tự từ 1 đến 10.
Để xếp xen kẽ các bạn nam và nữ
+ Trường hợp 1: Các bạn nam ngồi vị trí lẻ, các bạn nữ ngồi vị trí chẵn
Số cách xếp các bạn nam: 5!
Số cách xếp các bạn nữ: 5!
Do đó có 5! . 5! cách xếp.
+ Trường hợp 2: Các bạn nam ngồi vị trí chẵn, các bạn nữ ngồi vị trí lẻ
Tương tự như trường hợp trên ta có 5! . 5! cách xếp.
Vậy có 2 . 5! . 5! = 28800 cách xếp
Bài tập vận dụng tính tổ hợp
Bài 1: Một tổ gồm 12 học sinh. Có bao nhiêu cách:
a) Chọn ra 2 bạn đại diện cho nhóm
b) Chọn ra 2 bạn, rồi phân công chứ vụ tổ trưởng và tổ phó
c) Chia tổ thành 2 nhóm, trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm.
Lời giải
a) Chọn 2 bạn từ 12 bạn là tổ hợp chập 2 của 12: C122 = 66 cách.
b) Chọn 2 bạn rồi phân công chức vị là chỉnh hợp chập 2 của 12: A122 = 132 cách.
c) Chia tổ thành 2 nhóm tức mỗi nhóm có 6 bạn
Trong đó tổ trưởng và tổ phó khác nhóm
Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ trưởng trong 10 bạn còn lại: C105 = 252 cách.
Chọn 5 bạn vào cùng nhóm với tổ phó trong 5 bạn còn lại: C55 = 1 cách.
Vậy có 252.1 = 252 cách.
Bài 2: Một hộp có 15 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, 10 viên bi vàng. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 viên sao cho
a) Các viên bi cùng màu
b) Số bi xanh bằng số bi đỏ, biết luôn có bi xanh và đỏ
c) Có ít nhất 1 viên bi xanh.
Lời giải
a) Chọn 5 viên bi cùng màu
+ Trường hợp 1: Chọn được 5 viên bi màu đỏ: có C155 = 3003 cách.
+ Trường hợp 2: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có C55 = 1 cách.
+ Trường hợp 3: Chọn được 5 viên bi màu xanh: có C105 = 252 cách.
Vậy có 3003 + 1 + 252 = 3256 cách chọn.
b) Chọn được 5 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ
+ Trường hợp 1: có 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng: C51 . C151. C103 = 9000 cách.
+ Trường hợp 2: có 2 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng: C52 . C152. C101 = 10500 cách.
Vậy có 9000 + 10500 = 19500 cách chọn.
c) Chọn được ít nhất 1 viên bi xanh
Số cách chọn 5 viên bi bất kì là: C305 = 14250 cách.
Số cách chọn 5 viên trong đó không có bi xanh là: C255 = 53130 cách.
Vậy số cách chọn được ít nhất 1 viên bi xanh là: 142506 – 53130 = 89376 cách chọn.
Bài 3. Trong một thùng giấy có chứa 3 bông hoa màu cam, 7 bông hoa màu đỏ và 10 bông hoa màu trắng. Hỏi, có bao nhiêu cách lấy ngẫu nhiên ra 3 bông hoa trong thùng giấy?
Lời giải
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 bông hoa chính là một tổ hợp chập 3 của 20 (bông hoa). Do đó, số cách lấy ngẫu nhiên ra 3 bông hoa là: (cách chọn).
Vậy, có 1140 cách lấy ngẫu nhiên ra 3 bông hoa trong thùng giấy.
Bài 4. Trong một thùng giấy có chứa 5 quả bóng màu đen, 7 quả bóng màu vàng và 8 quả bóng màu trắng. Hỏi, có bao nhiêu cách lấy ra 4 quả bóng trong đó có đúng 2 quả bóng màu vàng?
Lời giải
Cách chọn 2 quả bóng màu vàng từ 7 quả bóng màu vàng chính là một tổ hợp chập 2 của 7. Suy ra, có tất cả cách chọn.
Cách chọn 2 quả bóng còn lại từ 13 quả bóng chính là một tổ hợp chập 2 của 13. Suy ra, có tất cả cách chọn.
Theo quy tắc nhân, có tất cả . = 21.78 = 1638 (cách chọn).
Vậy có tất cả 1638 cách lấy ra 4 quả bóng trong đó có 2 quả bóng màu vàng.
Bài 5. Cho 50 quả bóng đã được điền số từ số 1 đến số 50. Hỏi, có bao nhiêu cách lấy ra 6 quả bóng mà số được điền trên mỗi quả bóng lấy ra phải là số lẻ?
Lời giải
Ta có, từ số 1 đến số 50 có tất cả 25 số lẻ.
Số cách chọn 6 quả bóng mà số được điền trên mỗi quả bóng lấy ra phải là số lẻ chính là một tổ hợp chập 6 của 25. Do đó, số cách lấy ra 6 quả bóng mà số được điền trên mỗi quả bóng lấy ra phải là số lẻ là: (cách chọn).
Bài 6. Một câu lạc bộ nhảy của một trường có tất cả 24 bạn, bao gồm 10 bạn nam và 14 bạn nữ. Để chuẩn bị cho giải đấu bóng rổ cấp trường, trường dự định chọn ra 5 bạn tham gia đội cổ vũ. Hỏi, có tất cả bao nhiêu cách lập đội cổ vũ trong đó có ít nhất một bạn nữ?
Lời giải
Số cách lập đội cổ vũ gồm 5 bạn bất kỳ là: (cách chọn).
Số cách lập đội cổ vũ gồm 5 bạn mà không có bạn nữ nào chính là số cách lập đội cổ vũ gồm 5 bạn nam có: (cách chọn).
Suy ra, số cách lập đội cổ vũ trong đó có ít nhất một bạn nữ là: 42504 – 252 = 42252 (cách chọn).
Vậy, có tất cả 42252 cách lập đội cổ vũ trong đó có ít nhất một bạn nữ.
Bài 7. Trong một mặt phẳng, cho một đa giác đều có tất cả 11 cạnh. Hỏi, đa giác đều đó có tất cả bao nhiêu đường chéo?
Lời giải
Ta có, đa giác đều đã cho có tất cả 11 cạnh, nên suy ra đa giác đều đó có tất cả 11 đỉnh.
Trong đa giác đều trên, số đường thẳng đi qua 2 đỉnh từ 11 đỉnh là: .
Vì số đường thẳng đi qua 2 đỉnh từ 11 đỉnh của đa giác đều đã bao gồm 11 cạnh của đa giác đều đó. Do đó, số đường chéo của đa giác đều đã cho là 55 – 11 = 44 (đường).
Vậy đa giác đều đã cho có tất cả 44 đường chéo.
Như vậy, bài viết trên đã giải đáp rất chi tiết và cụ thể cho chúng ta câu hỏi: Tổ hợp là gì? Đồng thời, bài viết đã giới thiệu tới các bạn công thức tính số các tổ hợp và tổng hợp những bài toán thường gặp của chuyên đề này. Qua đó, hy vọng các bạn sẽ có hứng thú với phần kiến thức trong chuyên đề này và làm thật tốt các bài toán tương tự.
***
Trên đây là nội dung bài học Công thức tính tổ hợp và bài tập vận dụng do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn và tổng hợp. Hy vọng sẽ giúp các em hiểu rõ nội dung bài học và từ đó hoàn thành tốt bài tập của mình. Đồng thời luôn đạt điểm cao trong các bài thi bài kiểm tra sắp tới. Chúc các em học tập thật tốt.
Đăng bởi THCS Bình Chánh trong chuyên mục Học tập
- Tụ điện là gì? Cấu tạo của tụ điện? Công dụng của tụ điện là gì?
- Gốc axit là gì? Gốc axit được phân thành mấy loại?
- Soạn bài Trái tim Đan-Kô SGK Ngữ văn 11 Cánh diều –
- Soạn bài Một người Hà Nội SGK Ngữ văn 11 Cánh diều –
- Soạn bài Thực hành đọc hiểu Tầng hai SGK Ngữ văn 11 Cánh diều –
- Soạn bài Tác gia Nguyễn Du SGK Ngữ văn 11 Kết nối tri thức
