Lũy thừa là gì? Một số công thức liên quan đến lũy thừa

Cô Nguyễn Thanh Phương 28/09/2023

Mời các em theo dõi nội dung bài học về Lũy thừa là gì? Một số công thức liên quan đến lũy thừa do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn. Hy vọng sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tốt và hoàn thành tốt bài tập của mình.

Mục lục

Lũy thừa là gì?

Lũy thừa là một phép toán toán học, được viết dưới dạng an, bao gồm hai số, cơ số a và số mũ hoặc lũy thừa n, và được phát âm là “a lũy thừa n”. Khi n là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số (thừa số): nghĩa là an là tích của phép nhân n cơ số.

Số mũ thường được hiển thị dưới dạng chỉ số trên ở bên phải của cơ số. Trong trường hợp đó

Bạn đang xem: Lũy thừa là gì? Một số công thức liên quan đến lũy thừa

+ aⁿ được gọi là “lũy thừa bậc n của a”, “a lũy thừa n”, hoặc hầu hết ngắn gọn là “a mũ n”

+ a² còn được gọi là “a bình phương” hoặc “bình phương của a”

+ a³ còn được gọi là “a lập phương” hoặc “lập phương của a”

Ta có a¹ = a, và, với mọi số nguyên dương m và n, ta có a^m ⋅ aⁿ = a^m+n. Để mở rộng thuộc tính này thành số mũ nguyên không dương, a⁰ được định nghĩa là 1, a⁻ⁿ(với n là số nguyên dương và a không phải là 0) được định nghĩa là 1/aⁿ. Đặc biệt, a⁻¹ bằng 1/a, nghịch đảo của a.

Định nghĩa về lũy thừa có thể được mở rộng để cho phép bất kỳ số mũ thực hoặc phức nào. Luỹ thừa theo số mũ nguyên cũng có thể được định nghĩa cho nhiều loại cấu trúc đại số, bao gồm cả ma trận.

Luỹ thừa được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm kinh tế học, sinh học, hóa học, vật lý và khoa học máy tính, với các ứng dụng như lãi kép, tăng dân số, động học phản ứng hóa học, hành vi sóng và mật mã khóa công khai.

Một số công thức liên quan đến lũy thừa

– Nhân hai lũy thừa cùng cơ số:

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ

a^m.aⁿ=a^m+n

Ví dụ: 3⁴.3⁵=3⁴⁺⁵=3⁹, x³.x=x³.x¹=x ³⁺¹=x⁴

– Chia hai lũy thừa cùng cơ số:

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ

a^m:aⁿ=a^m−n(a≠0,m≥n)

Ví dụ: 7⁸: 7³= 7 ⁸⁻³= 7 ⁵, x⁷: x²= x ⁷⁻²= x⁵(x≠0)

– Lũy thừa của lũy thừa: (a^m)ⁿ=a^m.n

– Lũy thừa của một tích: (a.b)^m= a^m.b^m

Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

${a^n} = a.a.a.a....a$

(n thừa số a) (a khác 0)

a được gọi là cơ số; n được gọi là số mũ.

Lũy thừa của lũy thừa

${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\left( {a \ne 0} \right)$

Ví dụ: ${\left( {{3^2}} \right)^4} = {3^{2.4}} = {3^8}$

Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

${a^m}.{b^m} = {\left( {a.b} \right)^m}\left( {a;b \ne 0} \right)$

Ví dụ : ${3^3}{.4^3} = {\left( {3.4} \right)^3} = {12^3}$

Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

${a^m}:{b^m} = {\left( {a:b} \right)^m}\left( {a,b \ne 0} \right)$

Ví dụ : ${8^4}:{4^4} = {\left( {8:4} \right)^4} = {2^4}$

Một vài quy ước

1ⁿ = 1 ví dụ : 1²⁰¹⁷ = 1

a⁰ = 1 ví dụ : 2017⁰ = 1

So sánh hai lũy thừa

– So sánh hai lũy thừa cũng cơ số, khác số mũ:

Nếu m>n thì a^m>aⁿ

– So sánh hai lũy thừa khác cơ số, cùng số mũ:

Nếu a>b thì a^m>b^m

– Ví dụ: 2³<3³,9⁶>5⁶

Bài tập luyện tập về lũy thừa

Bài 1: So sánh:

a) 5³⁶ và 11²⁴

b) 3²ⁿ và 2³ⁿ (n ∈ N*)

c) 5²³ và 6.5²²

d) 2¹³ và 2¹⁶

e) 21¹⁵ và 27⁵.49⁸

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ và 72⁴⁴ – 72⁴³

Lời giải

a) 5³⁶ = 5¹² (5³)¹² = 125¹²; 11²⁴ = 11^2.12 = (11²)¹² = 121¹²

Mà 125¹² > 121¹² => 5³⁶ > 121¹²

b) Tương tự

c) Ta có: 5²³ = 5.5²² < 6.5²²

d) Tương tự.

e) 21¹⁵ = (7.3)¹⁵ = 7¹⁵.3¹⁵

27⁵.49⁸ = (3³)⁵.(7²)⁸ = 3¹⁵.7¹⁶ = 7.3¹⁵.7¹⁵ > 3¹⁵.7¹⁵ = 21¹⁵

=> 27⁵.49⁸ > 21¹⁵.

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ = 72⁴⁴.(72 – 1) = 72⁴⁴.71

72⁴⁴ – 72⁴³ = 72⁴³.(72 – 1) = 72⁴³.71

Mà 72⁴³.71 < 72⁴⁴.71 nên suy ra: 72⁴⁴ – 72⁴³ < 72⁴⁵ – 72⁴⁴

Bài 2: Tính giá trị biểu thức (Thu gọn các tổng sau):

a) A = 2 + 2²+ 2³ + … + 2²⁰¹⁷

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

Lời giải

a) Ta có: A = 2 + 2²+ 2³ + … + 2²⁰¹⁷

2A = 2.( 2 + 2²+ 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

2A = 2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸

2A – A = (2² + 2³ + 2⁴ + … + 2²⁰¹⁸) – (2 + 2²+ 2³ + … + 2²⁰¹⁷)

A = 2²⁰¹⁸ – 2

b) B = 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸

3².B = 3².( 1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

9B = 3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰

9B – B = (3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰²⁰) – (1 + 3² + 3⁴ + … + 3²⁰¹⁸)

8B = 3²⁰²⁰ – 1

B = (3²⁰²⁰ – 1) : 8.

c) C = – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸

5C = 5.( – 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

5C = -5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹

5C + C = (-5² + 5³ – 5⁴ + 5⁵ – … – 5²⁰¹⁸ + 5²⁰¹⁹) + (- 5 + 5² – 5³ + 5⁴ – … – 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁸)

6C = 5²⁰¹⁹ – 5

C = (5²⁰¹⁹ – 5) : 6

Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:

a) 3⁷.27⁵.81³

b) 100⁶.1000⁵.10000³

c) 36⁵ : 18⁵

d) 24.5⁵ + 5².5³

e) 125⁴ : 5⁸

f) 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²)

Lời giải

a) 3⁷.27⁵.81³ = 3⁷.(3³)⁵.(3⁴)³ = 3⁷.3¹⁵.3¹² = 3^7+15+12 = 3³⁴.

b) Tương tự.

c) 36⁵ : 18⁵ = (36 : 18)⁵ = 2⁵ = 32.

d) 5⁵ + 5².5³ = 24.5⁵ + 5⁵ = 5⁵.(24 + 1) = 5⁵.25 = 5⁵.5² = 5⁷.

e) 125⁴ : 5⁸ = (5³)⁴ : 5⁸ = 5¹² : 5⁸ = 5^12-8 = 5⁴ = 625.

f) 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴.(3³ + 3³⁰) : [3⁵(1 + 3²⁷)]

= 3⁴.3³.(1 + 3²⁷) : [3⁵.(1 + 3²⁷)]

= 3⁷ : 3⁵ = 3^7-5 = 3² = 9.

Hoặc: 81.(27 + 9¹⁵) : (3⁵ + 3³²) = 3⁴.(3³ + 3³⁰) : (3⁵ + 3³²)

= 3².(3³.3² + 3³⁰.3²) : (3⁵ + 3³²)

= 3²(3⁵ + 3³²) : (3⁵ + 3³²)

= 3² = 9

Bài 4: Tìm tập hợp các số tự nhiên x, biết rằng lũy thừa 5^{2x – 1} thỏa mãn điều kiện:

100 < 5^{2x – 1} < 5⁶.

Lời giải

Ta có: 100 < 5^{2x – 1} < 5⁶

=> 5² < 100 < 5^2x-1 < 5⁶

=> 2 < 2x – 1 < 6

=> 2 + 1 < 2x < 6 + 1

=> 3 < 2x < 7

Vì x ∈ N nên suy ra: x ∈ {2; 3} là thỏa mãn.

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau.

a) a⁴.a⁶

b) (a⁵)⁷

c) (a³)⁴ . a⁹

d) (2³)⁵.(2³)⁴

Bài 6: Viết các tích sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁸ . 2²⁰ ; 9¹² . 27⁵ . 81⁴ ; 64³ . 4⁵ . 16²

b) 25²⁰ . 125⁴ ; x⁷ . x⁴ . x³ ; 3⁶ . 4⁶

c) 8⁴ . 2³ . 16² ; 2³ . 2² . 8³ ; y . y⁷

Bài 7: Tính giá trị các lũy thừa sau :

a) 2² , 2³ , 2⁴ , 2⁵ , 2⁶ , 2⁷ , 2⁸ , 2⁹ , 2¹⁰.

b) 3² , 3³ , 3⁴ , 3⁵.

c) 4², 4³, 4⁴.

d) 5² , 5³ , 5⁴.

Bài 8: Viết các thương sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 4⁹ : 4⁴ ; 17⁸ : 17⁵ ; 2¹⁰ : 8² ; 18¹⁰ : 3¹⁰ ; 27⁵ : 81³

b) 10⁶ : 100 ; 5⁹ : 25³ ; 4¹⁰ : 64³ ; 2²⁵ : 32⁴ ; 18⁴ : 9⁴

Bài 9: Viết các tổng sau thành một bình phương

a) 1³ + 2³

b) 1³ + 2³ + 3³

c) 1³ + 2³ + 3³ + 4³

Bài 10: Tìm x N, biết.

a) 3^x . 3 = 243

b) 2^x . 162 = 1024

c) 64.4^x = 168

d) 2^x = 16

Bài 11: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý.

a) (2¹⁷ + 17²).(9¹⁵ – 3¹⁵).(2⁴ – 4²)

b) (8²⁰¹⁷ – 8²⁰¹⁵) : (8²¹⁰⁴.8)

c) (1³ + 2³ + 3⁴ + 4⁵).(1³ + 2³ + 3³ + 4³).(3⁸ – 81²)

d) (2⁸ + 8³) : (2⁵.2³)

Bài 12: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa.

a) 125⁵ : 25³

b) 27⁶ : 9³

c) 4²⁰ : 2¹⁵

d) 24ⁿ : 2²ⁿ

e) 64⁴ . 16⁵ : 4²⁰

g) 32⁴ : 8⁶

Bài 13: Tìm x, biết.

a) 2^x.4 = 128

b) (2x + 1)³ = 125

c) 2x – 2⁶ = 6

d) 64.4^x = 45

e) 27.3^x = 243

g) 49.7^x = 2401

h) 3^x = 81

k) 3⁴.3^x = 3⁷

n) 3^x + 25 = 26.2² + 2.3⁰

Bài 14: So sánh

a) 2⁶ và 8² ; 5³ và 3⁵ ; 3² và 2³ ; 2⁶ và 6²

b) A = 2009.2011 và B = 20102

c) A = 2015.2017 và B = 2016.2016

d) 2017⁰ và 1²⁰¹⁷

Bài 15: Cho A = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + … + 2²⁰⁰⁷

a) Tính 2A

b) Chứng minh : A = 2²⁰⁰⁸ – 1

Bài 16: Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷

a) Tính 3A

b) Chứng minh A = (3⁸ – 1) : 2

Bài 17: Cho B = 1 + 3 + 3² + … + 3²⁰⁰⁶

a) Tính 3B

b) Chứng minh: A = (3²⁰⁰⁷ – 1) : 2

Bài 18: Cho C = 1 + 4 + 4² + 4³ + 4⁵ + 4⁶

a) Tính 4C

b) Chứng minh: A = (47 – 1) : 3

Bài 19: Tính tổng

a) S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2²⁰¹⁷

b) S = 3 + 3² + 3³ + ….+ 3²⁰¹⁷

c) S = 4 + 4² + 4³ + … + 4²⁰¹⁷

d) S = 5 + 5² + 5³ + … + 5²⁰¹⁷

Bài 20: Viết kết quả của các phép tính sau dưới dạng một luỹ thừa

a) a².a³.a⁵

b) 2³.2^8.2⁷

c) 7.7².7²³

Bài 21: Viết kết quả của phép tính dưới dạng một luỹ thừa

a) 12¹² : 12

b) 10⁸ : 10⁵ : 10³

Bài 22: So sánh

a) 5³⁶ và 11²⁴

b) 3²ⁿ và 2³ⁿ (n ∈ N*)

c) 5²³ và 6.5²²

d) 2¹³ và 2¹⁶

e) 21¹⁵ và 27⁵.49⁸

f) 72⁴⁵ – 72⁴⁴ và 72⁴⁴ – 72⁴³

***

Trên đây là nội dung bài học Lũy thừa là gì? Một số công thức liên quan đến lũy thừa do thầy cô trường THCS Bình Chánh biên soạn và tổng hợp. Hy vọng sẽ giúp các em hiểu rõ nội dung bài học và từ đó hoàn thành tốt bài tập của mình. Đồng thời luôn đạt điểm cao trong các bài thi bài kiểm tra sắp tới. Chúc các em học tập thật tốt.

Đăng bởi THCS Bình Chánh trong chuyên mục Học tập